Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Для исследования устойчивости монотонной прогонки
введём вспомогательную последовательность (прогоночное
соотношение)
y
k
=u
k
-α
k
u
k-1
, (4.5)
подобрав α
k
таким образом, чтобы уравнения (4.2) при записи
их относительно y
k
становились двухдиагональными.
a
i
u
i-1
+b
i
u
i
+c
i
u
i+1
=c
i
y
i+1
+y
i
(b
i
+c
i
α
i
)+u
i-1
[a
i
+α
i-1
(b
i
+c
i
α
i
)].
При условии
a
i
+α
i-1
(b
i
+c
i
α
i
)=0, (4.6)
уравнение принимает двухдиагональный вид, а решение системы
(4.2)-(4.4) сводится к двум процедурам бегущего счёта в
противоположных направлениях. Как видно из (4.5), бегущий
счёт вычисления u
i
по y
i
устойчив при ⎜α
i
⎜≤1. С учётом
условия (4.6), данное неравенство эквивалентно ⎜b
i
+c
i
α
i
⎜≥⎜a
i
⎜,
для чего достаточно потребовать
⎜b
i
⎜≥⎜c
i
⎜+⎜a
i
⎜. (4.7)
Следовательно, для устойчивости монотонной прогонки
требуется «диагональное преобладание» матрицы системы.
Условие (4.7) является достаточным, но не необходимым для
устойчивости прогонки. Может случиться, что алгоритм
оказывается вполне работоспособным и при его сильном
нарушении. Однако, как показывает опыт, работать с
нарушением (4.7) не рекомендуется. Такой счёт склонен к
скрытому накоплению погрешностей и может приводить
к
нефизическому поведению решения.
Заметим, что условие (4.7) обеспечивает устойчивость
обеих модификаций прогонки: сверху вниз - снизу вверх и
снизу вверх - сверху вниз, а нарушение его делает
ненадёжными также обе модификации этого алгоритма. В этом
легко убедиться, если вместо (4.5) рассмотреть
последовательность y
k
=u
k
-α
k
u
k+1
, повторив все приведённые
рассуждения.
Системы уравнений с безусловным диагональным
преобладанием дают схемы (3.23) и (3.24) для уравнения
теплопроводности. Обратный пример - схема (3.7) для
уравнения переноса. В последнем случае диагональное
преобладание имеет место только при ⎜q⎜≤1, иначе прогонка
может оказаться неустойчивой.
п.4.Схема трёхдиагональной немонотонной прогонки.
Невыполнение условия (4.7) не означает, вообще
говоря,
вырождения системы уравнений. Система может оставаться
невырожденной и даже хорошо обусловленной. Существует
множество практически важных схем, которые приводят к
неустойчивой монотонной прогонке, одной из которых является
схема (3.7). Так, для (3.7) с краевыми условиями первого
рода u
0
=a, u
N
=b при τ→∞ получаем систему уравнений с нулевой
диагональю (не считая первой и последней строк). Однако, 
      Для    исследования      устойчивости    монотонной     прогонки
введём      вспомогательную      последовательность      (прогоночное
соотношение)
yk=uk-αkuk-1,                                               (4.5)
подобрав αk таким образом, чтобы уравнения (4.2) при записи
их относительно yk становились двухдиагональными.
aiui-1+biui+ciui+1=ciyi+1+yi(bi+ciαi)+ui-1[ai+αi-1(bi+ciαi)].
При условии
ai+αi-1(bi+ciαi)=0,                                         (4.6)
уравнение принимает двухдиагональный вид, а решение системы
(4.2)-(4.4) сводится к двум процедурам бегущего счёта в
противоположных направлениях. Как видно из (4.5), бегущий
счёт вычисления ui по yi устойчив при ⎜αi⎜≤1. С учётом
условия (4.6), данное неравенство эквивалентно ⎜bi+ciαi⎜≥⎜ai⎜,
для чего достаточно потребовать
⎜bi⎜≥⎜ci⎜+⎜ai⎜.                                             (4.7)
Следовательно,        для    устойчивости     монотонной      прогонки
требуется «диагональное преобладание» матрицы системы.
Условие (4.7) является достаточным, но не необходимым для
устойчивости       прогонки.    Может    случиться,    что    алгоритм
оказывается вполне работоспособным и при его сильном
нарушении.       Однако,   как     показывает    опыт,    работать   с
нарушением (4.7) не рекомендуется. Такой счёт склонен к
скрытому накоплению погрешностей и может приводить к
нефизическому поведению решения.
      Заметим, что условие (4.7) обеспечивает устойчивость
обеих модификаций прогонки: сверху вниз - снизу вверх и
снизу вверх - сверху вниз, а нарушение его делает
ненадёжными также обе модификации этого алгоритма. В этом
легко      убедиться,       если     вместо     (4.5)      рассмотреть
последовательность yk=uk-αkuk+1, повторив все приведённые
рассуждения.
      Системы       уравнений      с    безусловным      диагональным
преобладанием дают схемы (3.23) и (3.24) для уравнения
теплопроводности. Обратный пример - схема (3.7) для
уравнения       переноса.    В    последнем    случае    диагональное
преобладание имеет место только при ⎜q⎜≤1, иначе прогонка
может оказаться неустойчивой.


п.4.Схема трёхдиагональной немонотонной прогонки.

     Невыполнение условия (4.7) не означает, вообще говоря,
вырождения системы уравнений. Система может оставаться
невырожденной и даже хорошо обусловленной. Существует
множество практически важных схем, которые приводят к
неустойчивой монотонной прогонке, одной из которых является
схема (3.7). Так, для (3.7) с краевыми условиями первого
рода u0=a, uN=b при τ→∞ получаем систему уравнений с нулевой
диагональю (не считая первой и последней строк). Однако,

Страницы