Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Особенность получаемой при этом системы конечно-разностных
уравнений состоит в том, что краевые условия в ней
отсутствуют, а вместо них присутствует условие 2π-
периодичности решения по углу ϕ: u
-1
≡u
N
, u
N+1
≡u
0
. Такая
система уравнений имеет трёхдиагональную матрицу (не считая
первой и последней строк) и может быть представлена в виде:
a
0
u
N
+b
0
u
0
+c
0
u
1
=d
0
(4.8)
a
i
u
i-1
+b
i
u
i
+c
i
u
i+1
=d
i
, i=1,N-1 (4.9)
a
N
u
N-1
+b
N
u
N
+c
N
u
0
=d
N
(4.10)
Решение системы (4.8)-(4.10) проводится аналогично системе
(4.2)-(4.4), но на каждом шаге прямого прохода следует
исключать также крайний левый ненулевой элемент последней
строки, в результате чего он будет смещаться вправо на одну
позицию. После прямого прохода матрица принимает вид:
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
x x 0 x
0 x x x
0 0 x x
0 0 0 x
.
Т.е., помимо главной диагонали и одной наддиагонали,
отличен от нуля крайний правый столбец. Последнее уравнение
диагонализуется, и процедура обратного прохода очевидна.
Данный алгоритм экономичен, по трудоёмкости примерно
вдвое превышает стандартную монотонную прогонку. Аналогичен
он ей и в отношении устойчивости (условие (4.7)). Допускает
обобщение в виде прогонки с выбором главного
элемента.
п.6.Схема трёхдиагональной векторной прогонки.
Все рассмотренные до сих схемы прогонок предназначались
для конечно-разностных уравнений с одной переменной.
Уравнения (3.32) или (3.33) содержат две переменные - u и
v. Они могут быть представлены в векторно-матричной форме:
A
i
w
i-1
+B
i
w
i
+C
i
w
i+1
=f
i
, (4.11)
где A
i
, B
i
, C
i
- матрицы 2х2, w
i
- вектор (u
i
,v
i-1/2
) или
(u
i
,v
i
), f
i
- вектор правых частей. Алгоритм решения такой
системы уравнений может строиться аналогично схеме
монотонной прогонки, если под коэффициентами A
i
, B
i
, C
i
понимать не числа, а матрицы и помнить о том, что
перемножение матриц некоммутативно. Такая прогонка получила
название векторной.
Вводя прогоночное соотношение y
i
=w
i
-α
i
w
i-1
, приходим к
уравнению на α
i
вида A
i
-(B
i
-C
i
α
i+1
)α
i
=0. Откуда B
i
α
i
=-A
i
-
C
i
α
i+1
α
i
. Условие ⎢⎟α
i
⎢⎟≤1 будет выполнено в некоторой норме,
если в той же норме ⎢⎟B
i
-1
A
i
⎢⎟+⎢⎟B
i
-1
C
i
⎢⎟≤1.
Трудоёмкость векторной прогонки составляет O(M
3
N), где
M - число уравнений в системе, N - число узлов сетки, O(M
3
)
- трудоёмкость обращения матрицы MxM. Таким образом, 
Особенность получаемой при этом системы конечно-разностных
уравнений состоит в том, что краевые условия в ней
отсутствуют,   а  вместо   них   присутствует  условие   2π-
периодичности решения по углу ϕ: u-1≡uN, uN+1≡u0. Такая
система уравнений имеет трёхдиагональную матрицу (не считая
первой и последней строк) и может быть представлена в виде:

a0uN+b0u0+c0u1=d0                                        (4.8)
aiui-1+biui+ciui+1=di, i=1,N-1                           (4.9)
aNuN-1+bNuN+cNu0=dN                                      (4.10)

Решение системы (4.8)-(4.10) проводится аналогично системе
(4.2)-(4.4), но на каждом шаге прямого прохода следует
исключать также крайний левый ненулевой элемент последней
строки, в результате чего он будет смещаться вправо на одну
позицию. После прямого прохода матрица принимает вид:
⎡ x0 xx 0x xx ⎤
⎢ 0 0 x x ⎥.
⎣ 0 0 0 x ⎦
Т.е., помимо главной диагонали и одной наддиагонали,
отличен от нуля крайний правый столбец. Последнее уравнение
диагонализуется, и процедура обратного прохода очевидна.
     Данный алгоритм экономичен, по трудоёмкости примерно
вдвое превышает стандартную монотонную прогонку. Аналогичен
он ей и в отношении устойчивости (условие (4.7)). Допускает
обобщение в виде прогонки с выбором главного элемента.


п.6.Схема трёхдиагональной векторной прогонки.

      Все рассмотренные до сих схемы прогонок предназначались
для    конечно-разностных     уравнений      с   одной   переменной.
Уравнения (3.32) или (3.33) содержат две переменные - u и
v. Они могут быть представлены в векторно-матричной форме:
Aiwi-1+Biwi+Ciwi+1=fi,                                    (4.11)
где Ai, Bi, Ci - матрицы 2х2, wi -             вектор (ui,vi-1/2) или
(ui,vi), fi - вектор правых частей. Алгоритм решения такой
системы     уравнений     может     строиться     аналогично    схеме
монотонной прогонки, если под коэффициентами Ai, Bi, Ci
понимать не числа, а матрицы и помнить о том, что
перемножение матриц некоммутативно. Такая прогонка получила
название векторной.
      Вводя прогоночное соотношение yi=wi-αiwi-1, приходим к
уравнению на αi вида Ai-(Bi-Ciαi+1)αi=0. Откуда Biαi=-Ai-
Ciαi+1αi. Условие ⎢⎟αi⎢⎟≤1 будет выполнено в некоторой норме,
если в той же норме ⎢⎟Bi-1Ai⎢⎟+⎢⎟Bi-1Ci⎢⎟≤1.
      Трудоёмкость векторной прогонки составляет O(M3N), где
M - число уравнений в системе, N - число узлов сетки, O(M3)
- трудоёмкость обращения матрицы MxM. Таким образом,

Страницы