Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

разностных аппроксимаций этих уравнений соответствующие
величины сохранялись точно (также как и в дифференциальной
задаче). Разностные схемы, удовлетворяющие такому условию,
называют консервативными. В консервативных схемах решение
оказывается «зажатым» в тесные рамки интегральных законов
сохранения, что как правило, улучшает сходимость
приближённого решения к точному. В случае негладких решений
улучшение сходимости часто носит не
только количественный,
но и качественный характер.
Для получения консервативных разностных схем
А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским был предложен интегро-
интерполяционный метод, основанный на использовании
интегральных уравнений баланса. Проиллюстрируем
использование этого метода на примере, заимствованном у
А.А.Самарского. Пусть требуется составить разностную схему
для уравнения теплопроводности
∂/∂
x(k(x)∂u/∂x)-q(x)u=-f(x) (5.1)
на отрезке [0,1]. Обозначив w=-ku’, запишем уравнение
теплового баланса на отрезке [x
i-1/2
,x
i+1/2
]:
w
i-1/2
-w
i+1/2
+
⌡
⎮
⌠
x
i-1/2
x
i+1/2
f(x)dx
=
⌡
⎮
⌠
x
i-1/2
x
i+1/2
q(x)u(x)dx
(5.2)
Применяя ко входящим сюда интегралам формулу среднего,
получим:
-a
i
u
i
-u
i-1
h
+a
i+1
u
i+1
-u
i
h
+d
i
u
i
h=-ϕ
i
h, (5.3)
где a
i
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⌡
⎮
⌠
-1
0
ds
k(x
i
+sh)
-1
, d
i
=
⌡
⎮
⌠
-0,5
0,5
q(x
i
+sh)ds
, ϕ
i
=
⌡
⎮
⌠
-0,5
0,5
f(x
i
+sh)ds
.
Легко проверить, что для схемы (5.3) выполнен закон
сохранения:
w
1/2
-w
N-1/2
+
Σ
N-1
i=1
hϕ
i
=
Σ
N-1
i=1
hd
i
u
i
, (5.4)
где w
i-1/2
=-a
i
(u
i
-u
i-1
)/h. Равенство (5.4) получается из (5.3)
простым суммированием по i.
Вопросы консервативности и интегро-интерполяционный
метод построения консервативных схем разобраны во многих
пособиях по численным методам (см. например [2-4,10]), и мы
не станем останавливаться на них подробно.
Новую роль интегро-интерполяционный метод стал играть с
появлением метода конечных элементов, требующего построения
аппроксимаций частных производных
на нерегулярных сетках,
однако эти вопросы выходят за рамки данного пособия.
п.3.Монотонность разностной схемы.
Рассмотренные выше дифференциальные задачи Коши
(3.1),(3.21),(3.28),(3.31) обладают свойством монотонности. 
разностных аппроксимаций этих уравнений соответствующие
величины сохранялись точно (также как и в дифференциальной
задаче). Разностные схемы, удовлетворяющие такому условию,
называют консервативными. В консервативных схемах решение
оказывается «зажатым» в тесные рамки интегральных законов
сохранения,    что    как    правило,     улучшает    сходимость
приближённого решения к точному. В случае негладких решений
улучшение сходимости часто носит не только количественный,
но и качественный характер.
     Для    получения     консервативных      разностных    схем
А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским         был предложен интегро-
интерполяционный    метод,    основанный      на   использовании
интегральных      уравнений      баланса.        Проиллюстрируем
использование этого метода на примере, заимствованном у
А.А.Самарского. Пусть требуется составить разностную схему
для уравнения теплопроводности
∂/∂x(k(x)∂u/∂x)-q(x)u=-f(x)                           (5.1)
на отрезке [0,1]. Обозначив w=-ku’, запишем уравнение
теплового баланса на отрезке [xi-1/2,xi+1/2]:
                xi+1/2                 xi+1/2

wi-1/2-wi+1/2+ ⌠        ⌠
               ⎮f(x)dx= ⎮q(x)u(x)dx                                             (5.2)
                    ⌡                    ⌡
                xi-1/2                 xi-1/2
Применяя ко входящим сюда интегралам                                  формулу   среднего,
получим:
   ui-ui-1 ui+1-ui
-ai h +ai+1 h +diuih=-ϕih,                                                      (5.3)
                                  -1
          0
         ⎡          ⎤
                                                0,5              0,5
               ds
где   ai=⎢ ⌠
           ⎮k(xi+sh)⎥              , di= ⌠                ⌠
                                         ⎮q(xi+sh)ds, ϕi= ⎮f(xi+sh)ds.
           ⌡
         ⎣-1        ⎦                            ⌡
                                                -0,5
                                                                  ⌡
                                                                 -0,5
Легко проверить,                       что       для   схемы   (5.3)    выполнен    закон
сохранения:
              N-1           N-1
w1/2-wN-1/2+   Σ hϕ =Σ hd u ,
              i=1
                        i
                            i=1
                                   i i                                          (5.4)
где wi-1/2=-ai(ui-ui-1)/h. Равенство (5.4) получается из (5.3)
простым суммированием по i.
     Вопросы консервативности и интегро-интерполяционный
метод построения консервативных схем разобраны во многих
пособиях по численным методам (см. например [2-4,10]), и мы
не станем останавливаться на них подробно.
     Новую роль интегро-интерполяционный метод стал играть с
появлением метода конечных элементов, требующего построения
аппроксимаций частных производных на нерегулярных сетках,
однако эти вопросы выходят за рамки данного пособия.


п.3.Монотонность разностной схемы.

     Рассмотренные   выше  дифференциальные   задачи   Коши
(3.1),(3.21),(3.28),(3.31) обладают свойством монотонности.

Страницы