Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оно состоит в том, что в ходе эволюции решения в нём не
возникает новых максимумов и минимумов. Соответствующее
свойство для их конечно-разностных аналогов, вообще говоря,
не гарантировано. Если же оно выполняется, причём характер
монотонности решения (возрастание или убывание) сохраняется
от слоя к слою, то конечно-разностную схему называют
монотонной.
К понятию монотонности тесно примыкает понятие
положительной аппроксимации. Однородную разностную схему
называют положительно определённой (по Фридрихсу), если при
произвольном неотрицательном решении на нижнем слое, она
даёт неотрицательное решение на верхнем слое.
Запишем однородную двухслойную разностную схему с
постоянными коэффициентами в канонической форме:
Σ
m
k=0
(b
k
u
^
i+k
+a
k
u
i+k
)=0, 0≤i≤N-m. (5.5)
Схема (5.5) будет явной, если отлично от нуля только одно b
k
и неявной в противном случае. Пусть конечно-разностная
задача, задаваемая схемой (5.5) корректна, тогда
справедлива следующая лемма:
Схема (5.5) монотонна тогда и только тогда, когда она
положительно определена.
Доказательство:
а)Пусть (5.5) положительно определена. Допустим, что она
немонотонна. В этом случае существует такая монотонная
сеточная функция u
i
, не равная тождественно константе,
что соответствующее решение (5.5) достигает экстремума
при некотором i, 0<i<N-m. Рассмотрим разность (5.5) при i
и i-1:
Σ
m
k=0
(b
k
V
^
i+k
+a
k
V
i+k
)=0, (5.6)
где V
i
=u
i
-u
i-1
. Сеточная функция V на нижнем слое
сохраняет знак в силу монотонности u на нижнем слое.
Однако на верхнем слое V
^
меняет знак в силу существования
экстремума u
^
, что противоречит предположению о
положительной определённости (5.5).
б)Пусть (5.5) монотонна. Допустим, что она не является
положительно определённой. Тогда существует
неотрицательная сеточная функция u, такая, что u
^
принимает отрицательное значение хотя бы в одной точке.
Рассмотрим сеточную функцию V
i
=
Σ
i
j=0
u
j
, и, соответственно V
i
^
=
Σ
i
j=0
u
^
j
. Суммируя (5.5) по всем i от 0 до j, снова приходим
к (5.6). Поскольку все u
j
неотрицательны, то V
i
≥V
i-1
, и V
монотонно возрастает. В тоже время u
^
отрицательна в одной 
Оно состоит в том, что в ходе эволюции решения в нём не
возникает новых максимумов и минимумов. Соответствующее
свойство для их конечно-разностных аналогов, вообще говоря,
не гарантировано. Если же оно выполняется, причём характер
монотонности решения (возрастание или убывание) сохраняется
от слоя к слою, то конечно-разностную схему называют
монотонной.
     К   понятию  монотонности   тесно   примыкает  понятие
положительной аппроксимации. Однородную разностную схему
называют положительно определённой (по Фридрихсу), если при
произвольном неотрицательном решении на нижнем слое, она
даёт неотрицательное решение на верхнем слое.
     Запишем однородную двухслойную разностную схему с
постоянными коэффициентами в канонической форме:
 m

Σ (b ^u
k=0
          k i+k+akui+k)=0,   0≤i≤N-m.                          (5.5)
Схема (5.5) будет явной, если отлично от нуля только одно bk
и неявной в противном случае. Пусть конечно-разностная
задача,    задаваемая   схемой   (5.5)    корректна,   тогда
справедлива следующая лемма:
Схема (5.5) монотонна тогда и только тогда, когда она
положительно определена.
Доказательство:
   а)Пусть (5.5) положительно определена. Допустим, что она
   немонотонна. В этом случае существует такая монотонная
   сеточная функция ui, не равная тождественно константе,
   что соответствующее решение (5.5) достигает экстремума
   при некотором i, 0

Страницы