Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 45 стр.

          2 ^ ^     ^    4
     2(1+q)u i=ui+1+ui-1+qui. Все условия (5.7) выполнены, и
     неявная схема (3.23) безусловно монотонна.
     в)Схема с весами (3.24). Схему можно представить в
     виде:
      ^ -2(α+2)u
     αu           ^    ^             2
       i+1     q i+αui-1+(1-α)ui+1+2[q-(1-α)]ui+(1-α)ui-1=0.
     Видно, что условия монотонности выполнены при α≤1 и (1-
     α)q≤2.

Пример 2 Уравнение переноса.
     а)Явная схема первого порядка (3.2). Схему можно
     представить в виде: u   ^ =(1+q)u -qu . Схема монотонна при
                              i        i   i+1
     0≥q≥-1,      что   совпадает    с   условием     устойчивости.
     Аналогично, схема (3.3) монотонна при 0≤q≤1.
     б)Неявная схема первого порядка (3.5). Схему можно
     представить      в     виде:        ^ -(1-q)u
                                     ui-qu         ^ =0.    Условия
                                          i+1       i
     монотонности выполнены при всех q≤0.
     в)Неявная схема (3.7). Схему можно представить в виде:
         ^ +u
     0,5qu     ^ -0,5qu
                      ^ =u . Видно, что условие монотонности
          i+1   i       i-1 i
     не выполнено ни при каком числе Куранта, за исключением
     q=0.
     г)Схема «квадрат». Схему можно представить в виде            ^
                                                                  u
             ^
     i(1-q)+ui+1(1+q)-ui(1+q)-ui+1(1-q)=0.     Видно, что условие
     монотонности не выполнено ни при каком числе Куранта,
     за исключением q=±1.

Пример 3 Уравнение (3.31).
     Опуская несложный анализ, укажем, что схемы (3.36) и
     (3.37) монотонны во всей области устойчивости, а схема
     (3.35) - только при 2D≥vh.


п.4.Свойства монотонных схем.

     Свойство монотонности играет чрезвычайно важную роль и
в теории и в практике численных методов, и мы остановимся
на   нём   несколько  подробнее.   Что  означает   нарушение
монотонности схемы на практике? Оно может приводить к тому,
что на профиле численного решения появляются выбросы или
«осцилляции». Появление таких осцилляций не связано с
неустойчивостью разностного метода. Не связано оно и с
погрешностью при решении конечно-разностного уравнения.
Осциллирующие решения присущи самой разностной схеме.