Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 46 стр.

На рис.2 показан график решения, полученный за 1000
итераций при числе Куранта q=0,1 по схеме (3.20). На рис.1
показано решение, полученное по монотонной схеме (3.2). В
качестве     начального    условия    бралась    θ-функция.   Таким
образом, и монотонная и немонотонная схемы искажают
решение. Немонотонная вызывает паразитные осцилляции, а
монотонная - сильное размытие фронта, растущее от итерации
к итерации как t1/2. Кроме того, как указывалось выше,
применение     схем     первого    порядка    точности    ведёт   к
возникновению     неустранимой     систематической     погрешности.
Стремление улучшить качество получаемого решения побудило
вычислителей к поиску монотонных схем с высоким порядком
аппроксимации.       Конец   поискам     такого    рода    положило
доказательство следующей важнейшей теоремы (С.К.Годунов):
Линейный конечно-разностный метод для задачи (3.1) с
порядком     аппроксимации     выше    первого    не   может   быть
монотонным.
Доказательство.
           Пусть существует линейный монотонный метод порядка
     точности выше первого. Запишем его в форме (5.8), и
     возьмём начальные данные в виде u(x,0)=(x/h-0,5)2-0,25.
     Тогда точное решение дифференциальной задачи имеет вид
     u(x,t)=((x-vt)/h-0,5)2-0,25.         Поскольку     погрешность
     метода выше первого порядка, то она выражается через
     производные решения не ниже третьего порядка. Но
     u(k)(x,t)=0       при     k>2,      следовательно      решение
     дифференциальной задачи совпадает с решением конечно-
     разностной. Подставляя решение при t=0 в (5.8) получим
         vτ 1   1            1   1
                  Σ
     (i- h -2)2-4= ak[(i+k-2)2-4].
                   k
                                         В    силу     необходимого
     условия     монотонности     (5.9),    правая    часть   этого
     выражения неотрицательна. Левая часть может принимать
     отрицательные значения при нецелом vτ/h. Например, при
     vτ/h=1/4    и    i=1   (i-vτ/h-1/2)2-1/4=-3/16.     Полученное
     противоречие доказывает теорему.

     Доказанная теорема, однако,     верна только для линейных
методов.   Она   не   исключает      существования  нелинейных
разностных   схем,   сочетающих      монотонность  с   хорошей
аппроксимацией. Подобный метод      можно построить следующим
образом. Прежде всего, отметим,     что даже в случае линейной