Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 48 стр.

                    2
первого порядка и ui по немонотонной схеме второго порядка.
Окончательное значение выбирается так, чтобы оно:
                      1  2
а)лежало в интервале ui…ui.
б)лежало в интервале ui…ui+1 (при v<0) или ui-1…ui (при v>0).
                                 2
в)было по возможности ближе к ui.
                                        1
В силу монотонности первого метода ui попадает в интервал
пункта б), так, что интервалы из пунктов а) и б) имеют
непустое пересечение.
     Метод коррекции потоков может быть представлен в виде
гибридной схемы на основе (3.15) и (3.19) с соответствующей
функцией    управления.     Достоинством   метода     является
гарантированная монотонность, достигаемая за счёт жёсткого
ограничения решения интервалами ui-1…ui и ui…ui+1. Однако
отсюда проистекает и его основной недостаток. Поскольку
функция управления основана не на анализе гладкости, то
коррекции подвергаются не только быстропеременные, но и
гладкие решения. Это приводит к характерному «скалыванию
вершины»   на   гладких    решениях   параболической    формы.
Существенным недостатком метода является также сложность
его обобщения на случай неявных схем.
     Дальнейшее обобщение метода FCT было предложено в
работах А.Хартена ([33] и др.), где был предложен метод TVD
(Total Variation Diminishing). В основу этого метода вместо
монотонности положено несколько иное понятие: сохранение
полной вариации δu=⌠
                   ⌡⎮ux⎮dx. Математически, сохранение полной
                      ’


вариации решения является более слабым требованием по
сравнению с монотонностью, что делает возможным ослабить
искажение решения в результате коррекции. Впрочем и для
методов TVD удаётся проследить связь с гибридными методами,
отличие состоит в технике построения анализатора гладкости.
     Другим распространённым подходом к расчёту разрывных
решений является метод выделения особенности. В основе
метода лежит нестандартная обработка ячеек, в которых
решение терпит разрыв. Дифференциальные уравнения в них
заменяются    краевыми    условиями,    выражающими    законы
сохранения. В случае расчёта ударной волны это могут быть
соотношения Гюгонио (Нейман и Рихтмайер) или точное решение
задачи   Римана   (Годунов).   Достоинством   такого   метода
является высокая точность и отсутствие размытия разрыва.
Недостатком - сложность программной реализации, поскольку
при расчёте требуется отслеживать положение имеющихся
разрывов и возможное возникновение новых. Как и гибридные
схемы, метод выделения особенностей в настоящее время имеет
множество модификаций, и его подробное рассмотрение выходит
за рамки данного пособия.
     В настоящее время любая программа, включающая решение
уравнений переноса или систем уравнений гиперболического
типа, обязательно обрабатывает в той или иной форме
возможные   нарушения   монотонности   решения,   даже   если
окончательное решение предполагается гладким. Это тем более