Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

необходимо в случае задач с разрывными решениями. Как
отмечалось, для численного решения такого класса задач в
настоящее время применяются два основных подхода: гибридные
схемы сквозного счёта, описанные выше и схемы с выделением
особенностей. Достоинством схем сквозного счёта является
простота, единообразие алгоритма во всех счётных ячейках
(как с разрывами так и
без разрывов). Недостатком -
сравнительно низкая точность и искусственное размытие
разрыва на несколько счётных ячеек.
Принципиально новый подход к проблеме монотонности
предложен В.М.Головизиным и С.А.Карабасовым в [34]. В
предлагаемом ими методе («метод прыжкового переноса») не
используется каких-либо процедур, связанных с интерполяцией
решения и могущих вызвать осцилляции, а
вместо этого
вычисляется «подсеточное» смещение решения за временной
шаг, что позволяет полностью избежать как размытия фронтов
так и возникновения осцилляций. Данное свойство сближает
его с методами выделения особенности. В тоже время
положение разрывов явно не отслеживается и алгоритм имеет
единообразный вид во всех точках расчётной области (т.е.
является схемой сквозного
счёта). Как и для большинства
гибридных методов, при решении систем гиперболлического
типа их необходимо расщеплять на уравнения характеристик,
что является неудобством метода. Это обстоятельство
затрудняет также решение систем уравнений с диссипацией
(типа уравнений Навье-Стокса). Метод ещё разрабатывается,
опыт расчётов с его использованием весьма невелик, но
результаты, даваемые им весьма
обнадёживают.
§6.Основные методы расщепления.
п.1.Аддитивное разложение оператора.
Рассмотрим дифференциальную задачу Коши
∂u
∂t
+Au=f; u(0)=u
0
(6.1)
Как отмечалось выше, решение (6.1) устойчиво, если оператор
A неотрицателен в каком-нибудь скалярном произведении.
После «аппроксимации на сетку», дифференциальной задаче
(6.1) можно сопоставить неявную конечно-разностную
u
^
-u
τ
+Au
^
=f; u
0
=u
0
, (6.2) 
необходимо в случае задач с разрывными решениями. Как
отмечалось, для численного решения такого класса задач в
настоящее время применяются два основных подхода: гибридные
схемы сквозного счёта, описанные выше и схемы с выделением
особенностей. Достоинством схем сквозного счёта является
простота, единообразие алгоритма во всех счётных ячейках
(как с разрывами так и без разрывов). Недостатком -
сравнительно низкая точность и искусственное размытие
разрыва на несколько счётных ячеек.
     Принципиально новый подход к проблеме монотонности
предложен В.М.Головизиным и С.А.Карабасовым в [34]. В
предлагаемом ими методе («метод прыжкового переноса») не
используется каких-либо процедур, связанных с интерполяцией
решения и могущих вызвать осцилляции, а вместо этого
вычисляется «подсеточное» смещение решения за временной
шаг, что позволяет полностью избежать как размытия фронтов
так и возникновения осцилляций. Данное свойство сближает
его с методами выделения особенности. В тоже время
положение разрывов явно не отслеживается и алгоритм имеет
единообразный вид во всех точках расчётной области (т.е.
является схемой сквозного счёта). Как и для большинства
гибридных методов, при решении систем гиперболлического
типа их необходимо расщеплять на уравнения характеристик,
что   является   неудобством  метода.   Это  обстоятельство
затрудняет также решение систем уравнений с диссипацией
(типа уравнений Навье-Стокса). Метод ещё разрабатывается,
опыт расчётов с его использованием весьма невелик, но
результаты, даваемые им весьма обнадёживают.



         §6.Основные методы расщепления.

п.1.Аддитивное разложение оператора.

     Рассмотрим дифференциальную задачу Коши

∂u
  +Au=f; u(0)=u0                                 (6.1)
∂t

Как отмечалось выше, решение (6.1) устойчиво, если оператор
A неотрицателен в каком-нибудь скалярном произведении.
После «аппроксимации на сетку», дифференциальной задаче
(6.1) можно сопоставить неявную конечно-разностную

^
u-u ^
    +Au=f; u0=u0,                                (6.2)
  τ

Страницы