Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

которая безусловно устойчива при аналогичных свойствах
конечно-разностного оператора A. Часто практическая
реализация схемы (6.2) оказывается весьма трудоёмкой из-за
трудности обращения оператора A, которому соответствует
плотно заполненная матрица весьма большой размерности.
Часто, однако, оператор A удаётся представить в виде суммы
операторов
A=A
1
+A
2
+…+A
m,
(6.3)
удовлетворяющих двум требованиям:
а)Каждый из A
i
легко обратим.
б)Существует скалярное произведение в котором каждый из
операторов A
i
неотрицателен.
Тогда возможно построить конечно-разностные схемы, которые
обладают высокоустойчивостью, но их реализация требует
обращения операторов A
1
,…,A
m
по отдельности, а не их суммы.
Такие схемы получили названия схем расщепления или схем в
дробных шагах.
Представление оператора в аддитивной форме (6.3)
(иногда также называемое «расщеплением оператора») является
первым и главным вопросом при построении схемы расщепления.
В реальных задачах механики сплошных сред выбор
расщеплённых операторов является далеко не простым
делом.
Из-за большой громоздкости решаемых уравнений прямая
проверка неотрицательности оператора обычно невозможна. По
этим причинам в выборе расщеплённых операторов A
i
приходится
руководствоваться некоторыми качественными соображениями.
Обычно пользуются следующими правилами:
а)Расщепление по направлениям; предложено в работе
Д.Письмана и Г.Рэчфорда [19]. Если квазилинейный
дифференциальный оператор A=A(∇) представим в виде
A=A
1
(∇
x
)+A
2
(∇
y
)+A
3
(∇
z
), то соответствующий ему конечно-
разностный оператор также представим в виде
A=A
1
(Λ
x
)+A
2
(Λ
y
)+A
3
(Λ
z
) и квазиодномерные операторы A
1
, A
2
,
A
3
можно использовать для расщепления. Недостатком
метода является невозможность расщепления оператора,
зависящего от смешанных производных A=A(∇
i
∇
j
).
б)Расщепление по процессам; впервые предложено в работах
Н.Н.Яненко [39]. Применяется, если для каждого из
операторов A
1
…A
m
задача Коши для уравнения ∂u/∂t+A
i
u=0
корректна и описывает некоторый процесс, имеющий
физический смысл. Например, оператор A
1
описывает
химическую кинетику, а A
2
- диффузию.
в)Попеременно-треугольное расщепление. Метод можно
представить в виде A=(
1
2
A+B)+(
1
2
A-B), где B - некоторый
«нулевой» оператор (т.е. (u,Bu)=0). Тогда (u,(
1
2
A+B)u)= 
которая безусловно устойчива при аналогичных свойствах
конечно-разностного   оператора   A.   Часто  практическая
реализация схемы (6.2) оказывается весьма трудоёмкой из-за
трудности обращения оператора A, которому соответствует
плотно заполненная матрица весьма большой размерности.
Часто, однако, оператор A удаётся представить в виде суммы
операторов

A=A1+A2+…+Am,                                         (6.3)

удовлетворяющих двум требованиям:
а)Каждый из Ai легко обратим.
б)Существует скалярное произведение в котором каждый из
  операторов Ai неотрицателен.
Тогда возможно построить конечно-разностные схемы, которые
обладают высокоустойчивостью, но их реализация требует
обращения операторов A1,…,Am по отдельности, а не их суммы.
Такие схемы получили названия схем расщепления или схем в
дробных шагах.
     Представление оператора в аддитивной форме (6.3)
(иногда также называемое «расщеплением оператора») является
первым и главным вопросом при построении схемы расщепления.
В   реальных    задачах   механики   сплошных   сред   выбор
расщеплённых операторов является далеко не простым делом.
Из-за   большой   громоздкости  решаемых   уравнений  прямая
проверка неотрицательности оператора обычно невозможна. По
этим причинам в выборе расщеплённых операторов Ai приходится
руководствоваться некоторыми качественными соображениями.
Обычно пользуются следующими правилами:

а)Расщепление    по    направлениям;    предложено    в    работе
    Д.Письмана    и   Г.Рэчфорда   [19].    Если   квазилинейный
    дифференциальный оператор A=A(∇) представим в виде
    A=A1(∇x)+A2(∇y)+A3(∇z), то соответствующий ему конечно-
    разностный     оператор    также     представим     в    виде
    A=A1(Λx)+A2(Λy)+A3(Λz) и квазиодномерные операторы A1, A2,
    A3 можно использовать для расщепления. Недостатком
    метода является невозможность расщепления оператора,
    зависящего от смешанных производных A=A(∇i∇j).
б)Расщепление по процессам; впервые предложено в работах
    Н.Н.Яненко [39]. Применяется, если для каждого из
    операторов A1…Am задача Коши для уравнения ∂u/∂t+Aiu=0
    корректна   и    описывает   некоторый    процесс,    имеющий
    физический   смысл.    Например,   оператор   A1   описывает
    химическую кинетику, а A2 - диффузию.
в)Попеременно-треугольное       расщепление.     Метод      можно
                             1       1
    представить в виде A=(2A+B)+(2A-B), где B - некоторый
                                                         1
    «нулевой» оператор (т.е. (u,Bu)=0). Тогда (u,(2A+B)u)=

Страницы