Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 51 стр.

         1        1
   =(u,(2A-B)u)=2(u,Au)≥0.           Например,       В    может    быть
   антисимметричным, т.к. в силу антисимметрии (u,Bu)=-
   (Bu,u)=0. Данный метод предложен независимо друг от
   друга    В.П.Ильиным        [35]    и    А.А.Самарским      [36]   и
   предназначен       для решения многомерных параболических
   уравнений. Основан на представлении конечно-разностного
   оператора    второго       порядка     в     виде   суммы   конечно-
   разностных операторов первого порядка:
                    a + b + c +          a - b - c -
   aΛxx+bΛyy+cΛzz=(h Λx+h Λy+h Λz)-(h Λx+h Λy+h Λz).
                     x     y     z        x      y   z
                                            a +
   В одномерном случае оператор h Λx представляет собой
                                             x
                                             a -
   верхнюю треугольную матрицу, а h Λx - нижнюю, откуда и
                                              x
   название    метода.       Поскольку      операторы     Λ±   обладают
   соответствующей знакоопределённостью, то попеременно-
   треугольный метод позволяет расщепить отрицательный
   эллиптический      оператор       любой      размерности    на   два
   отрицательных оператора, по виду аналогичные операторам
   направленной разности для уравнения переноса. Оба
   получаемых оператора легко обратимы, причём их обращение
   не требует даже скалярной прогонки - оно производится по
   схеме бегущего счёта. Интересно, что при определённых
   условиях (хотя и не всегда) таким образом могут быть
   расщеплены     и     эллиптические        операторы,      содержащие
   смешанные производные. Попеременно-треугольный метод
   удобен    при     решении        параболических       уравнений    и
   эллиптических       уравнений       установлением.        В   случае
   использования направленных (но не центральных) разностей
   для аппроксимации конвективных членов, он может быть
   использован для решения многомерных уравнений переноса.
   Однако, в общем случае, на операторы других типов (в
   частности гиперболлического) метод не обобщается.

Указанные методы не всегда корректны математически (не
всегда    обеспечивает       неотрицательность     расщеплённых
операторов в едином скалярном произведении), что может
приводить    к    снижению    устойчивости   полученных    схем
расщепления. Тем не менее, все они широко используются на
практике. В принципе возможно аддитивное представление
оператора вида (6.3) на основе каких-либо иных соображений,
однако практически это встречается крайне редко. Часто
применяется приближённое расщепление (когда равенство (6.3)
выполняется    лишь   приближённо).   Сюда   относятся   методы
Булеева, метод Зейделя, различные релаксационные методы и
др.   Эта   группа    методов   обычно   не   применяется   для
непосредственного решения эволюционных задач (т.к. они
нарушают аппроксимацию), но широко применяется для решения
стационарных задач установлением.