Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

u
^
=ξ
m
Каждый дробный шаг представляет собой полностью неявную
схему для уравнения с оператором A
i
. Рассмотрим устойчивость
алгоритма. Исключая дробные шаги, однородный алгоритм можно
записать в виде
(1+τA
1
)*…*(1+τA
m
)u
^
=u
или
u
^
=(1+τA
m
)
-1
*…*(1+τA
1
)
-1
u
Полагая ⎢⎟u⎢⎟=
(u,u) и пользуясь обычными свойствами норм
⎢⎟u
^
⎢⎟≤⎢⎟(1+τA
m
)
-1
⎢⎟*…*⎢⎟(1+τA
1
)
-1
⎢⎟⎢⎟u⎢⎟
В силу неотрицательности операторов A
i
, ⎢⎟(1+τA
i
)
-1
⎢⎟≤1, откуда
⎢⎟u
^
⎢⎟≤⎢⎟u⎢⎟, и метод безусловно устойчив. Легко показать, что
(6.4) аппроксимирует (6.1) с первым порядком точности. В
самом деле, из (6.4) видно, что ξ
i
-ξ
i-1
=τ(A
i
ξ
i
-f/m)=O(τ),
следовательно ξ
i
=u+O(τ). Складывая все дробные шаги (6.4)
получим
u
^
-u
τ
+Au-f=
Σ
m
i=1
A
i
ξ
i
-Au=
Σ
m
i=1
A
i
(ξ
i
-u)=O(τ)
Другим примером метода суммарной аппроксимации является
схема аддитивно-усреднённого расщепления. Она имеет вид:
ξ
i
-u
τ
+mA
i
ξ
i
=f
i=1…m
u
^
=
1
m
Σ
i
ξ
i
(6.5)
Также как и схема простого покомпонентного расщепления,
аддитивно-усреднённая схема безусловно устойчива для любых
неотрицательных операторов A
i
и аппроксимирует исходное
уравнение с первым порядком по времени. В самом деле: u
^
=
1
m
Σ
i
ξ
i
=
1
m
Σ
i
(1+mτA
i
)
-1
(u+τf)=u+τf-τ
Σ
i
A
i
u+O(τ
2
) или
u
^
-u
τ
+
Σ
i
A
i
u=f+O(τ).
Для однородной схемы ⎢⎟u
^
⎢⎟=⎢⎟
1
m
Σ
i
ξ
i
⎢⎟≤
1
m
Σ
i
⎢⎟ξ
i
⎢⎟=
1
m
Σ
i
⎢⎟(1+mτA
i
)
-1
u⎢⎟≤
≤
1
m
Σ
i
⎢⎟u⎢⎟=⎢⎟u⎢⎟.
Легко видеть, что ни (6.4) ни (6.5) не обладают
свойством полной аппроксимации, т.к. им не удовлетворяет
стационарное решение (6.2) u
^
=u=A
-1
f.
Алгоритмы (6.4) и (6.5) обеспечивают аппроксимацию 1-го
порядка по времени. Для решения эволюционных задач этого
недостаточно. Г.И.Марчуком была предложена модификация
метода покомпонентного расщепления, обеспечивающая 
^
u=ξm
 Каждый дробный шаг представляет собой полностью неявную
  схему для уравнения с оператором Ai. Рассмотрим устойчивость
алгоритма. Исключая дробные шаги, однородный алгоритм можно
записать в виде
(1+τA1)*…*(1+τAm)u       ^=u
  или
  ^
  u=(1+τAm)-1*…*(1+τA1)-1u
Полагая ⎢⎟u⎢⎟= (u,u) и пользуясь обычными свойствами норм
 ⎢⎟^
   u⎢⎟≤⎢⎟(1+τAm)-1⎢⎟*…*⎢⎟(1+τA1)-1⎢⎟⎢⎟u⎢⎟
  В силу неотрицательности операторов Ai, ⎢⎟(1+τAi)-1⎢⎟≤1, откуда
⎢⎟^u⎢⎟≤⎢⎟u⎢⎟, и метод безусловно устойчив. Легко показать, что
  (6.4) аппроксимирует (6.1) с первым порядком точности. В
  самом деле, из (6.4) видно, что ξi-ξi-1=τ(Aiξi-f/m)=O(τ),
следовательно ξi=u+O(τ). Складывая все дробные шаги (6.4)
получим
^
u-u              m          m

    τ      Σ    i=1
                      i
                       Σ
       +Au-f= Aiξ -Au= Ai(ξi-u)=O(τ)
                           i=1
           Другим примером метода суммарной аппроксимации является
  схема аддитивно-усреднённого расщепления. Она имеет вид:
  ξi-u
        +mAiξi=f
    τ
   i=1…m                                                            (6.5)
      1
^
   Σ
u=m ξi
         i
 Также как и схема простого покомпонентного расщепления,
  аддитивно-усреднённая схема безусловно устойчива для любых
  неотрицательных операторов Ai и аппроксимирует исходное
                                                                          ^=1
уравнение с первым порядком по времени. В самом деле: u                     Σ
                                                                            m
                                                                              i
      1
    Σ                             Σ
ξi=m (1+mτAi)-1(u+τf)=u+τf-τ Aiu+O(τ2) или
          i                             i
 ^
 u-u
    τ Σ+ Aiu=f+O(τ).
           i
                                     1       1       1
Для однородной схемы ⎢⎟^          Σ      Σ        Σ
                               u⎢⎟=⎢⎟m ξi⎢⎟≤m ⎢⎟ξi⎢⎟=m ⎢⎟(1+mτAi)-1u⎢⎟≤
                                       i       i       i
   1
  Σ
  ≤m ⎢⎟u⎢⎟=⎢⎟u⎢⎟.
      i
           Легко видеть, что ни (6.4) ни (6.5) не обладают
  свойством полной аппроксимации, т.к. им не удовлетворяет
  стационарное решение (6.2) u           ^=u=A-1f.
           Алгоритмы (6.4) и (6.5) обеспечивают аппроксимацию 1-го
порядка по времени. Для решения эволюционных задач этого
недостаточно. Г.И.Марчуком была предложена модификация
  метода           покомпонентного          расщепления,       обеспечивающая

Страницы