Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 52 стр.

п.2.Понятие о полной и суммарной аппроксимации.

     Как отмечалось выше, под схемами расщепления или
схемами в дробных шагах, понимается алгоритм, реализация
которого включает обращение расщеплённых операторов Ai, а не
суммарного оператора A. Математически все эти алгоритмы в
той или иной форме основаны на приближённой замене суммы
операторов    их   произведением:    1+τA≈(1+τA1)…(1+τAm),    что
справедливо при τ→0. Поскольку и сами по себе конечно-
разностные уравнения аппроксимируют дифференциальные только
при τ→0, то такая замена представляется правомерной. Однако
в зависимости от поведения при конечных τ, схемы в дробных
шагах делятся на две основные группы: схемы суммарной
аппроксимации и схемы полной аппроксимации. Наиболее ярко
отличие этих групп проявляется при решении стационарных
задач    типа    (6.1)   установлением.     В    схемах    полной
                                           -1
аппроксимации решение сходится к A f, независимо от
величины τ, хотя скорость сходимости может меняться. В
случае схем суммарной аппроксимации стационарное решение,
получаемое после достаточно большого (бесконечного) числа
итераций зависит от временного шага τ, с которым эти
итерации производились. По этой причине для достижения
необходимой     точности    решения     в     схемах    суммарной
аппроксимации по мере установления необходимо уменьшать
временной шаг τ, что замедляет сходимость и повышает
трудоёмкость алгоритма. В схемах полной аппроксимации
установление можно вести с постоянным шагом, обеспечивающим
наиболее быструю сходимость.
     Преимущество схем полной аппроксимации проявляется и
при решении эволюционных задач, в том, что схемы суммарной
аппроксимации    обычно   вносят   в   решение     дополнительную
временную погрешность. В этом отношении отличие схем полной
и суммарной аппроксимации отчасти похоже на различие
консервативных и неконсервативных схем.
     По указанным обстоятельствам вычислители стремятся к
использованию схем расщепления полной аппроксимации, однако
использование      таких    схем     связано      с    некоторыми
дополнительными     трудностями    (прежде      всего    снижение
устойчивости) и возможно не всегда.


п.3.Схемы расщепления суммарной аппроксимации.

      Обзор схем расщепления мы начнём со схем суммарной
аппроксимации. Видимо наиболее простым является метод
простого     покомпонентного расщепления. Он может   быть
представлен в виде
ξ0=u
ξi-ξi-1      f
       +Aiξi=m, i=1…m                          (6.4)
   τ