Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

аппроксимацию O(τ
2
) для произвольных неотрицательных (в том
числе и некоммутативных) операторов A
i
. Метод получил
название двуциклического покомпонентного расщепления (см.
например [10]). Алгоритм может быть представлен в форме
ξ
0
=u
(1+
τ
4
A
m
)ξ
1
=(1-
τ
4
A
m
)ξ
0
.
.
(1+
τ
4
A
2
)ξ
m-1
=(1-
τ
4
A
2
)ξ
m-2
(1+
τ
2
A
1
)ξ
m
=(1-
τ
2
A
1
)ξ
m-1
+τf (6.6)
(1+
τ
4
A
2
)ξ
m+1
=(1-
τ
4
A
2
)ξ
m
.
.
(1+
τ
4
A
m
)ξ
2m-1
=(1-
τ
4
A
m
)ξ
2m-2
u
^
=ξ
2m-1
Каждый дробный шаг представляет собой схему Кранка-
Николсона, безусловно устойчивую для любых неотрицательных
операторов A
i
, благодаря чему безусловно устойчив и весь
алгоритм в целом. Исследуем аппроксимацию алгоритма.
Исключая дробные шаги, однородную схему можно привести к
виду:
u
^
=P
m
T
1
Q
m
u=T
m
u,
где
T
1
=(1+
τ
2
A
1
)
-1
(1-
τ
2
A
1
)=1-τA
1
+
τ
2
2
A
2
1
+O(τ
3
)
P
m
=
Π
m
i=2
(1+
τ
4
A
i
)
-1
(1-
τ
4
A
i
)=
Π
m
i=2
(1-
τ
2
A
i
+
τ
2
8
A
2
i
+O(τ
3
))
Q
m
=
Π
2
i=m
(1+
τ
4
A
i
)
-1
(1-
τ
4
A
i
)=
Π
2
i=m
(1-
τ
2
A
i
+
τ
2
8
A
2
i
+O(τ
3
))
Для операторов перехода T
m
справедлива возвратная формула
T
s
=(1-
τ
2
A
s
+
τ
2
8
A
2
s
+O(τ
3
))T
s-1
(1-
τ
2
A
s
+
τ
2
8
A
2
s
+O(τ
3
))
Докажем индукцией по s, что T
s
=1-τB
s
+
τ
2
2
B
2
s
+O(τ
3
), где B
s
=
Σ
s
k=1
A
k
. В
самом деле, T
1
уже имеет такой вид, а
T
s
=(1-
τ
2
A
s
+
τ
2
8
A
2
s
+O(τ
3
))T
s-1
(1-
τ
2
A
s
+
τ
2
8
A
2
s
+O(τ
3
))=(1-
τ
2
A
s
+
τ
2
8
A
2
s
+O(τ
3
)) (1-
τB
s-1
+
τ
2
2
B
2
s-1
+O(τ
3
))(1-
τ
2
A
s
+
τ
2
8
A
2
s
+O(τ
3
))=1-τ(B
s-1
+
A
s
2
+
A
s
2
)+
τ
2
2
(B
2
s-1
+ +
1
4
A
2
s
аппроксимацию O(τ2) для произвольных неотрицательных (в том
числе и некоммутативных) операторов Ai. Метод получил
название двуциклического покомпонентного расщепления (см.
например [10]). Алгоритм может быть представлен в форме
ξ0=u
    τ           τ
(1+4Am)ξ1=(1-4Am)ξ0
.
.
    τ             τ
(1+4A2)ξm-1=(1-4A2)ξm-2
    τ           τ
(1+2A1)ξm=(1-2A1)ξm-1+τf                             (6.6)
    τ             τ
(1+4A2)ξm+1=(1-4A2)ξm
.
.
    τ              τ
(1+4Am)ξ2m-1=(1-4Am)ξ2m-2
^
u=ξ2m-1
Каждый дробный шаг представляет собой схему Кранка-
Николсона, безусловно устойчивую для любых неотрицательных
операторов Ai, благодаря чему безусловно устойчив и весь
алгоритм      в    целом.   Исследуем  аппроксимацию алгоритма.
Исключая дробные шаги, однородную схему можно привести к
виду:
^
u=PmT1Qmu=Tmu,
где
        τ         τ          τ2 2
T1=(1+2A1) (1-2A1)=1-τA1+ 2 A1+O(τ3)
            -1

    m
          τ          τ
                          m
                                τ τ2 2
   Π
   i=2
               -1
                         Π
Pm= (1+4Ai) (1-4Ai)= (1-2Ai+ 8 Ai+O(τ3))
                          i=2
    2
             τ       τ
                           2
                                 τ   τ2 2
   Πi=m
                  -1
                         Π
Qm= (1+4Ai) (1-4Ai)= (1-2Ai+ 8 Ai+O(τ3))
                         i=m
Для операторов перехода Tm справедлива возвратная формула
         τ     τ2 2            τ   τ2 2
Ts=(1-2As+ 8 As+O(τ3))Ts-1(1-2As+ 8 As+O(τ3))
                                            τ2 2                     s
                                                      3
Докажем индукцией по s, что Ts=1-τBs+ 2 Bs+O(τ ), где Bs= Ak. В    Σk=1
самом деле, T1 уже имеет такой вид, а
         τ     τ2 2            τ   τ2 2             τ    τ2 2
Ts=(1-2As+ 8 As+O(τ3))Ts-1(1-2As+ 8 As+O(τ3))=(1-2As+ 8 As+O(τ3)) (1-
        τ2 2           τ   τ2 2                  As As τ2 2              1 2
τBs-1+ 2 Bs-1+O(τ3))(1-2As+ 8 As+O(τ3))=1-τ(Bs-1+ 2 + 2 )+ 2 (Bs-1+     +4As

Страницы