Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

⎢⎟(1+εA)
-1
⎢⎟=sup
u
(Q
-1
u,Q
-1
u)
(u,u)
=sup
w
(w,w)
(Qw,Qw)
=sup
w
w
2
w
2
+2ε(w,Aw)+(εAw)
2
≤1,
т.к. 2ε(w,Aw)≥0 и ε
2
(Aw,Aw)≥0.
Следовательно, схема Письмана-Рэчфорда безусловно
устойчива для произвольных неотрицательных операторов A
1
, A
2
и аппроксимирует уравнение (6.1) со вторым порядком по
времени. Обладает она и полной аппроксимацией. Это видно из
того, что решение u
^
=ξ=u=(A
1
+A
2
)
-1
f удовлетворяет (6.7)
независимо от шага τ. К сожалению, схема не обобщается на
число расщеплённых операторов большее двух.
Другим широко применяемым алгоритмом является т.н.
расщепление со стабилизирующей поправкой. Впервые схема
подобного типа была предложена в работе Дугласа и Рэчфорда.
Описанный ниже вид метода стабилизирующей поправки
предложен в работе Н.Н.Яненко
[17] для решения систем
уравнений гидродинамики и в настоящее время является
наиболее популярным методом решения сложных систем
уравнений в частных производных. Рассмотрим систему
конечно-разностных уравнений с весами:
u
^
-u
τ
+αAu
^
+(1-α)Au=f,
где 0≤α≤1. Данную систему можно переписать в «канонической»
форме:
(1+ταA)(u
^
-u)=τ(f-Au)
Если оператор A представим в виде суммы нескольких
операторов, то формально можно перейти к схеме расщепления
Π
m
i=1
(1+ταA
i
)(u
^
-u)=τ(f-
Σ
m
i=1
A
i
u), (6.8)
которую и называют методом стабилизирующей поправки. Схема
обладает свойством полной аппроксимации. Для того, чтобы
убедится в этом, достаточно заметить, что если u=A
-1
f -
стационарное решение (6.2), то правая часть (6.8)
обращается в ноль. Единственным решением (6.8) с нулевой
правой частью является u
^
-u=0. Таким образом, стационарное
решение не зависит от шага по времени. Аппроксимация
данного метода по пространству определяется исключительно
операторами A
k
. Временная аппроксимация зависит от значения
α. При α≠0,5 схема обеспечивает первый порядок
аппроксимации по времени, что следует из того, что
Π
m
i=1
(1+ταA
i
)=1+O(τ). При α=0,5 произведение
Π
m
i=1
(1+
τ
2
A
i
)=1+
τ
2
Σ
m
i=1
A
i
+O(τ
2
) и схему можно переписать в виде [1+O(τ
2
)]
u
^
-u
τ
+A
u
^
+u
2
=f, откуда видно, что она обеспечивает аппроксимацию (6.1)
с погрешностью O(τ
2
). 
                 (Q-1u,Q-1u)       (w,w)               w2
⎢⎟(1+εA)-1⎢⎟=sup (u,u) =sup(Qw,Qw)=sup 2                       2≤1,
              u                w            w w +2ε(w,Aw)+(εAw)

т.к. 2ε(w,Aw)≥0 и ε2(Aw,Aw)≥0.
      Следовательно,        схема     Письмана-Рэчфорда     безусловно
устойчива для произвольных неотрицательных операторов A1, A2
и аппроксимирует уравнение (6.1) со вторым порядком по
 времени. Обладает она и полной аппроксимацией. Это видно из
того,     что     решение    ^=ξ=u=(A +A )-1f
                             u                   удовлетворяет (6.7)
                                       1 2
независимо от шага τ. К сожалению, схема не обобщается на
 число расщеплённых операторов большее двух.
      Другим широко применяемым алгоритмом является т.н.
 расщепление со стабилизирующей поправкой. Впервые схема
 подобного типа была предложена в работе Дугласа и Рэчфорда.
 Описанный      ниже     вид     метода    стабилизирующей    поправки
 предложен в работе Н.Н.Яненко [17] для решения систем
 уравнений гидродинамики и в настоящее время является
наиболее       популярным      методом     решения    сложных   систем
уравнений       в    частных     производных.     Рассмотрим   систему
конечно-разностных уравнений с весами:
^
u-u
    +αAu^+(1-α)Au=f,
  τ
где 0≤α≤1. Данную систему можно переписать в «канонической»
форме:
(1+ταA)(u  ^-u)=τ(f-Au)
Если оператор A представим в виде суммы нескольких
операторов, то формально можно перейти к схеме расщепления
 m                         m

Π
i=1
               ^-u)=τ(f-
      (1+ταAi)(u           Σ A u),
                         i=1
                               i                                      (6.8)
которую и называют методом стабилизирующей поправки. Схема
обладает свойством полной аппроксимации. Для того, чтобы
убедится в этом, достаточно заметить, что если       u=A-1f -
стационарное   решение   (6.2),   то   правая   часть   (6.8)
обращается в ноль. Единственным решением (6.8) с нулевой
правой частью является u^-u=0. Таким образом, стационарное
решение не зависит от шага по времени. Аппроксимация
данного метода по пространству определяется исключительно
операторами Ak. Временная аппроксимация зависит от значения
α.   При    α≠0,5   схема    обеспечивает   первый    порядок
                                                                                m
аппроксимации      по   времени,           что   следует   из    того,   что   Π
                                                                               i=1
                                                                 m              m
(1+ταAi)=1+O(τ).        При        α=0,5     произведение       Π(1+2τ A )=1+2τ Σ
                                                                i=1
                                                                         i
                                                                               i=1
                                                   ^
                                                   u-u ^ u+u
      2                                         2
Ai+O(τ ) и схему можно переписать в виде  [1+O(τ )]    +A 2
                                                     τ
=f, откуда видно, что она обеспечивает аппроксимацию (6.1)
с погрешностью O(τ2).

Страницы