Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ситуация, когда представление оператора A в виде суммы
Σ
k
A
k
не обеспечивает либо лёгкой обратимости операторов A
k
, либо
хорошей устойчивости алгоритма типа (6.8). Примером первого
случая может служить решение параболлического уравнения
∂u/∂t+Au=f, где эллиптический оператор А имеет
недиагональный вид A=
Σ
i,k
a
ik
∇
i
∇
k
, что не даёт возможности
расщепить его по направлениям.
Часто преодолеть указанные трудности позволяет
использование т.н. схемы расщепления с несогласованным
стабилизирующим оператором («регуляризатором»).
B
τ
(w
^
-w)+Aw=f (6.9)
«Несогласованность» заключается в том, что τB
τ
≠1+ατ
Σ
i
A
i
+O(τ
2
).
Очевидным следствием несогласованности является
невозможность получения второго порядка апроксимации по
времени, однако это окупается возможностью достижения
безусловной устойчивости алгоритма и его счётной
экономичности при сохранении полной аппроксимации.
Попытаемся установить условия устойчивости (6.9)
(А.А.Самарский, [2]). Пусть
1.A - строго положительно определённый самосопряжённый
оператор.
2.«Регуляризатор» B
τ
удовлетворяет условию мажорирования:
B
τ
≥0,5A. (6.10)
Тогда алгоритм (6.9) устойчив по норме
(Au,u).
----------------------
Для доказательства представим однородную схему (6.9) в
виде (B
τ
-
1
2
A)(w
^
-w)+A
w
^
+w
2
=0. Домножая скалярно на w
^
-w,
получим, что ((2B
τ
-A)(w
^
-w),(w
^
-w))+(Aw
^
,w
^
)-(Aw,w)+(Aw,w
^
)-(Aw
^
,w)=0. В силу самосопряжённости A (Aw,w
^
)-(Aw
^
,w)=0, а
оператор 2B
τ
-A неотрицателен. Поэтому (Aw
^
,w
^
)-(Aw,w)≤0.
Осталось заметить, что в силу строгой положительности
оператора A выражение
(Au,u) действительно является
нормой.
----------------------
Часто удаётся построить стабилизирующий оператор в
расщеплённом виде
τB
τ
=
Π
k
(1+ατB
k
), (6.11)
однако, условия
Σ
k
B
k
≥A, B
k
≥0 вообще говоря не гарантируют
безусловной устойчивости (6.9), поскольку ни при каком α из
него не следует (6.10) при произвольном τ>0 из-за того, что
произведения B
k1
…B
km
, входящие в (6.11) не являются 
ситуация, когда представление оператора A в виде суммы                   ΣA
                                                                         k
                                                                             k

не обеспечивает либо лёгкой обратимости операторов Ak, либо
хорошей устойчивости алгоритма типа (6.8). Примером первого
случая может служить решение параболлического уравнения
∂u/∂t+Au=f,   где    эллиптический    оператор   А    имеет
недиагональный    вид       A=
                             i,k
                                 Σaik∇i∇k,   что   не   даёт   возможности
расщепить его по направлениям.
     Часто   преодолеть   указанные    трудности  позволяет
использование т.н. схемы расщепления с несогласованным
стабилизирующим оператором («регуляризатором»).
   ^-w)+Aw=f
Bτ(w                                             (6.9)
«Несогласованность» заключается в том, что τBτ≠1+ατ             ΣA +O(τ ).
                                                                i
                                                                    i
                                                                         2


Очевидным      следствием      несогласованности       является
невозможность получения второго порядка апроксимации по
времени, однако это окупается возможностью достижения
безусловной    устойчивости    алгоритма    и    его    счётной
экономичности    при    сохранении    полной    аппроксимации.
Попытаемся    установить     условия     устойчивости     (6.9)
(А.А.Самарский, [2]). Пусть
 1.A - строго положительно определённый самосопряжённый
  оператор.
 2.«Регуляризатор» Bτ удовлетворяет условию мажорирования:
  Bτ≥0,5A.                                           (6.10)
 Тогда алгоритм (6.9) устойчив по норме (Au,u).
 ----------------------
     Для доказательства представим однородную схему (6.9) в
            1          ^
  виде (Bτ-2A)(w ^-w)+Aw+w=0. Домножая скалярно на w       ^-w,
                        2
  получим, что ((2Bτ-A)(w^-w),(w
                               ^-w))+(Aw
                                       ^,w^)-(Aw,w)+(Aw,w^)-(Aw
                                                              ^
  ,w)=0. В силу самосопряжённости A (Aw,w      ^)-(Aw^,w)=0, а
  оператор 2Bτ-A неотрицателен. Поэтому (Aw     ^,w
                                                  ^)-(Aw,w)≤0.
  Осталось заметить, что в силу строгой положительности
  оператора A выражение       (Au,u) действительно является
  нормой.
----------------------
     Часто удаётся построить стабилизирующий оператор в
расщеплённом виде
   Π(1+ατB ),
τBτ=
       k
           k                                                    (6.11)

однако, условия    ΣB ≥A,
                   k
                        k          Bk≥0 вообще говоря не гарантируют

безусловной устойчивости (6.9), поскольку ни при каком α из
него не следует (6.10) при произвольном τ>0 из-за того, что
произведения  Bk1…Bkm,  входящие   в  (6.11)   не  являются

Страницы