Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Проанализируем устойчивость (6.8) в случае двух дробных
шагов. Рассмотрим вначале случай α=0,5 следуя [10]. В этом
случае однородную разностную схему можно переписать в виде
u
^
=(1+
τ
2
A
2
)
-1
(1+
τ
2
A
1
)
-1
(1-
τ
2
A
1
)(1-
τ
2
A
2
)u. Это выражение совпадает с
оператором перехода для схемы Письмана-Рэчфорда, если
учесть, что операторы (1+
τ
2
A
1
)
-1
и (1-
τ
2
A
1
) коммутативны,
поэтому и устойчивость метода стабилизирующей поправки
доказывается аналогично.
Перейдём к общему случаю. Вводя обозначения
P=(1+ατA
1
)(1+ατA
2
) и Q=(1-ατA
1
)(1-ατA
2
), представим схему в
виде Pu
^
=[(1-
1
2α
)P+
1
2α
Q]u или u
^
=[(1-
1
2α
)+
1
2α
P
-1
Q]u. Аналогично
предыдущему случаю переходим к w=(1+ατA
2
)u и получаем w
^
=[(1-
1
2α
)+
1
2α
(1+ατA
1
)
-1
(1-ατA
1
)(1+ατA
2
)
-1
(1-ατA
2
)]w. Откуда
⎢⎟w
^
⎢⎟≤[|1-
1
2α
|+
1
2α
⎢⎟(1+ατA
1
)
-1
(1-ατA
1
)⎢⎟⎢⎟(1+ατA
2
)
-1
(1-ατA
2
)⎢⎟]⎢⎟w⎢⎟.
По лемме Келлога при α≥0 ⎢⎟(1+ατA
i
)
-1
(1-ατA
i
)⎢⎟≤1 и ⎢⎟w
^
⎢⎟
≤(|1-
1
2α
|+
1
2α
)⎢⎟w⎢⎟. При α≥0,5 |1-
1
2α
|+
1
2α
=1 и ⎢⎟w
^
⎢⎟≤⎢⎟w⎢⎟, что означает
устойчивость алгоритма.
Таким образом, метод стабилизирующей поправки
безусловно устойчив при α≥0,5 для любых постоянных
неотрицательных операторов A
1
и A
2
. К сожалению, в случае
расщепления более чем на два неотрицательных оператора,
схема (6.8) вообще говоря, не обеспечивает безусловной
устойчивости. Тем не менее, её безусловную устойчивость
можно доказать в случае попарно коммутативных
самосопряжённых операторов расщепления. В этом случае они
имеют общий базис, по которому можно разложить решение.
Найдём выражение множителя перехода для
собственной функции
e
j
:
e
j
^
-e
j
τ
+
Σ
k
λ
k
Π
k
(1+ατλ
k
)
e
j
=0 или λ=1-
τ
Σ
k
λ
k
Π
k
(1+ατλ
k
)
. В случае
самосопряжённых неотрицательных операторов все λ
k
вещественны и неотрицательны. Поэтому
Π
k
(1+ατλ
k
)≥1+ατ
Σ
k
λ
k
и
1-
1
α
≤λ≤1. При α≥0,5 метод безусловно устойчив.
Как отмечалось, метод расщепления со стабилизирующей
поправкой является наиболее популярным из-за полной
аппроксимации и формальной применимости при числе дробных
шагов больше двух. Однако, на практике часто встречается 
       Проанализируем устойчивость (6.8) в случае двух дробных
 шагов. Рассмотрим вначале случай α=0,5 следуя [10]. В этом
 случае однородную разностную схему можно переписать в виде
 ^      τ          τ        τ      τ
 u=(1+2A2)-1(1+2A1)-1(1-2A1)(1-2A2)u. Это выражение совпадает с
оператором перехода для схемы Письмана-Рэчфорда, если
                                    τ              τ
учесть, что операторы (1+2A1)-1 и (1-2A1) коммутативны,
поэтому и устойчивость метода стабилизирующей поправки
доказывается аналогично.
       Перейдём       к    общему      случаю.    Вводя        обозначения
 P=(1+ατA1)(1+ατA2) и Q=(1-ατA1)(1-ατA2), представим схему в
 виде Pu   ^=[(1- 1 )P+ 1 Q]u или u   ^=[(1- 1 )+ 1 P-1Q]u. Аналогично
                   2α   2α                   2α 2α
предыдущему случаю переходим к w=(1+ατA2)u и получаем                      ^
                                                                           w
         1     1
=[(1- )+ (1+ατA1)-1(1-ατA1)(1+ατA2)-1(1-ατA2)]w. Откуда
        2α 2α
            1    1
⎢⎟^
  w⎢⎟≤[|1- |+ ⎢⎟(1+ατA1)-1(1-ατA1)⎢⎟⎢⎟(1+ατA2)-1(1-ατA2)⎢⎟]⎢⎟w⎢⎟.
           2α 2α
 По лемме Келлога при α≥0 ⎢⎟(1+ατAi)-1(1-ατAi)⎢⎟≤1 и                    ⎢⎟^
                                                                          w⎢⎟
         1    1                        1   1
≤(|1- |+ )⎢⎟w⎢⎟. При α≥0,5 |1- |+ =1 и ⎢⎟^         w⎢⎟≤⎢⎟w⎢⎟, что означает
        2α 2α                         2α 2α
 устойчивость алгоритма.
       Таким       образом,    метод      стабилизирующей         поправки
 безусловно       устойчив    при    α≥0,5    для    любых      постоянных
 неотрицательных операторов A1 и A2. К сожалению, в случае
расщепления более чем на два неотрицательных оператора,
 схема (6.8) вообще говоря, не обеспечивает безусловной
 устойчивости. Тем не менее, её безусловную устойчивость
 можно        доказать     в     случае      попарно         коммутативных
 самосопряжённых операторов расщепления. В этом случае они
 имеют общий базис, по которому можно разложить решение.
 Найдём выражение множителя перехода для собственной функции
 ej:

e^j-ej
               Σλ
               k
                    k                              τ   Σλ
                                                       k
                                                            k

      +               ej=0      или     λ=1-               .            В     случае
   τ
      Π   k
              (1+ατλk)                         Π
                                               k
                                                   (1+ατλk)

самосопряжённых              неотрицательных           операторов           все           λk
вещественны и неотрицательны. Поэтому                      Π(1+ατλ )≥1+ατΣλ
                                                                k
                                                                    k
                                                                                  k
                                                                                      k   и
  1
1- ≤λ≤1. При α≥0,5 метод безусловно устойчив.
  α

     Как отмечалось, метод расщепления со стабилизирующей
поправкой   является  наиболее  популярным  из-за  полной
аппроксимации и формальной применимости при числе дробных
шагов больше двух. Однако, на практике часто встречается

Страницы