Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

положительно определёнными операторами. Впрочем, при α>0,5
(6.10) всегда может быть обеспечено при достаточно малом τ>0
- алгоритм (6.9) условно-устойчив. Часто этого достаточно
для практических целей, поскольку ограничения на временной
шаг для (6.9) обычно оказываются значительно слабее по
сравнению с явными методами. Если же необходима безусловная
устойчивость, то на операторы B
k
следует наложить некоторые
дополнительные условия, обеспечивающие неотрицательность
произведений B
k1
…B
km
.
Подобно (6.8), безусловную устойчивость (6.9) легко
доказать, если операторы B
k
самосопряжённые и перестановочны
друг с другом. В этом случае они имеют общий
ортонормированный базис e
j
, причём собственные числа λ
jk
неотрицательны в силу неотрицательности B
k
. Тогда все
произведения вида B
k1
…B
km
оказываются положительно
определёнными:
(B
k1
…B
km
u,u)=
Σ
i,j
c
i
c
j
(e
i
,e
j
)
Π
k
λ
jk
=
Σ
i
c
2
i
Π
k
λ
ik
≥0, а из этого следует,
что B=
Π
k
(1+ατB
k
)≥1+ατ
Σ
k
B
k
>ατA≥
τ
2
A при α≥0,5. Разумеется,
требование взаимоперестановочности B
k
не является
необходимым для безусловной устойчивости (6.9).
Пример 1
Построим алгоритм для решения параболического уравнения
∂u/∂t+Au=f с недиагональным оператором A=
Σ
i,k
a
ik
∇
i
∇
k
.
Разностный аналог эллиптического оператора имеет вид
A=
Σ
i,k
a
ik
Λ
2
ik
. Оператор соответствующий смешанным
производным имеет вид Λ
xy
u
i,j
=(u
i+1,j+1
-u
i+1,j-1
-u
i-1,j+1
+u
i-1,j-
1
)/(4h
x
h
y
). Он не представим в виде суммы операторов,
действующих только по одному направлению, что не
позволяет воспользоваться расщеплением (6.8). Однако,
хорошо известно, что любые эллиптические операторы
одинаковой размерности строго отрицательны и
энергетически эквивалентны друг другу. В частности,
существует константа γ>0 такая, что -γ
Σ
i
a
ii
Λ
2
ii
≥-
τ
2
A и B=
Π
i
(1-γτa
ii
Λ
2
ii
)≥-γ
Σ
i
a
ii
Λ
2
ii
≥-
τ
2
A.
Как отмечалось, при использовании описанных схем
расщепления не всегда возможно получить безусловно
устойчивую схему полной аппроксимации в случае расщепления
на три и более дробных шага, даже если расщеплённые
операторы удовлетворяют требованию неотрицательности.
Принципиально новые возможности в этом отношении открывает
принцип векторного расщепления, предложенный в работах 
положительно определёнными операторами. Впрочем, при α>0,5
(6.10) всегда может быть обеспечено при достаточно малом τ>0
- алгоритм (6.9) условно-устойчив. Часто этого достаточно
для практических целей, поскольку ограничения на временной
шаг для (6.9) обычно оказываются значительно слабее по
сравнению с явными методами. Если же необходима безусловная
устойчивость, то на операторы Bk следует наложить некоторые
дополнительные условия, обеспечивающие неотрицательность
произведений Bk1…Bkm.
     Подобно (6.8), безусловную устойчивость (6.9) легко
доказать, если операторы Bk самосопряжённые и перестановочны
друг   с   другом.    В   этом  случае   они   имеют   общий
ортонормированный базис ej, причём собственные числа λjk
неотрицательны в силу неотрицательности Bk. Тогда все
произведения    вида    Bk1…Bkm  оказываются    положительно
определёнными:
(Bk1…Bkmu,u)=      Σ c c (e ,e )Πλ =Σc Πλ
                   i,j
                         i j       i   j
                                           k
                                               jk
                                                    i
                                                        2
                                                        i
                                                            k
                                                                ik≥0,   а из этого следует,

что    B=  Π(1+ατB )≥1+ατΣB >ατA≥2τ A
            k
                         k
                                       k
                                           k                    при     α≥0,5.   Разумеется,
требование    взаимоперестановочности    Bk   не    является
необходимым для безусловной устойчивости (6.9).
Пример 1
     Построим алгоритм для решения параболического уравнения
      ∂u/∂t+Au=f с недиагональным оператором                                     A=
                                                                                   i,k
                                                                                      Σa ik∇i∇k.

      Разностный             аналог эллиптического                    оператора имеет вид
      A=
        i,k
           Σa      2
                ikΛik.             Оператор             соответствующий           смешанным

      производным имеет вид Λxyui,j=(ui+1,j+1-ui+1,j-1-ui-1,j+1+ui-1,j-
      1)/(4hxhy). Он не представим в виде суммы операторов,
      действующих только по одному направлению, что не
      позволяет воспользоваться расщеплением (6.8). Однако,
      хорошо известно, что любые эллиптические операторы
      одинаковой    размерности    строго      отрицательны          и
      энергетически эквивалентны друг другу. В частности,
                                                          τ
                                                      2
      существует константа γ>0 такая, что -γ aiiΛii≥-2A и B=              Σ
                                                                          i
                                                                                             Πi
                              τ
                2          2
                              Σ
      (1-γτaiiΛii)≥-γ aiiΛii≥-2A.
                               i
     Как отмечалось, при использовании описанных схем
расщепления   не   всегда  возможно    получить   безусловно
устойчивую схему полной аппроксимации в случае расщепления
на три и более дробных шага, даже если расщеплённые
операторы   удовлетворяют   требованию    неотрицательности.
Принципиально новые возможности в этом отношении открывает
принцип векторного расщепления, предложенный в работах

Страницы