Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 61 стр.

                                    ^
                                    u0j-u0j
(1+ατωjnjyΛy)(1+ατωjnjxΛx+ατωjbj)          =
                                       τ    .             (6.16)
 =ωjaj-ωj[(njxΛx+njyΛy)u0j+bju0j]
Каждый шаг (6.16) имеет одномерную структуру и допускает
реализацию скалярной прогонкой, обеспечивая безусловную
устойчивость алгоритма. Параметр ωj выбирается из условия
ωjbj>0 так, чтобы обеспечить наиболее быструю сходимость
(6.16) к (6.14). Если в качестве операторов Λx или Λy
используются направленные разности, их направление должно
выбираться в соответствии с правилом «против потока».
     Может случиться (а в случае использования центрально-
разностных операторов обязательно случается), что узлы,
требуемые для аппроксимации краевых условий, лежат вне
расчётной     области.      При   использовании     таких  фиктивных
запредельных узлов поступают следующим образом: помимо
краевых условий в граничных точках аппроксимируется само
решаемое уравнение, как и во внутренних узлах. Далее из
двух имеющихся уравнений исключается значение решения в
фиктивном узле, а полученная связь между значениями в
граничном и ближайшем к нему приграничном узле используется
в качестве краевого условия для прогонки. Например, при
решении параболического уравнения
^
uij-uij           ^ =f
       -D(Λxx+Λyy)u                                       (6.17)
   τ               ij   ij

с краевыми условиями (6.15) в узлах на левой границе
запишем линейную комбинацию (6.17) и (6.15)
^
u0j-u0j
       -σD(Λxx+Λyy)u^ +
   τ                 0j
                                              ,           (6.18)
                           ^
+(1-σ)ωj(njxΛx+njyΛy+bj)u0j=σfij+(1-σ)ωjaj
подобрав σ так, чтобы коэффициент при u-1j стал равен нулю.
Например, если в качестве Λx используется центрально-
                                    1
разностный оператор, то σ=           2D . Подбором ωj всегда можно
                                1-
                                  ωjnjxhx
добиться того, чтобы знаменатель последнего выражения не
обращался в ноль. Случай с использованием в качестве Λx
направленной разности реализуется аналогично. После этого
схема расщепления (6.18) строится обычным образом.
     Несколько сложнее производится запись краевых условий в
угловых точках расчётной области. Например, в узле (0,0) из
конечно-разностных формул необходимо исключить значения
решения в двух фиктивных узлах: u-1,0 u0,-1. Для этого имеется
три конечно-разностных уравнения: (6.17), условие на левой
границе, и условие на нижней границе. Составляя их линейную
комбинацию с двумя неопределёнными коэффициентами, можно
добиться     исключения        значений     решения    в   указанных
запредельных узлах. Далее алгоритм аналогичен (6.18).
     Описанный подход позволяет получить высокоустойчивые