Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

операций. Итерационные методы позволяют получить
приближённое решение (7.2)-(7.3) с заданной точностью.
Итерационному процессу может отвечать некоторый физический
эволюционный процесс. Однако можно записать итерационный
процесс, не соответствующий никакому реальному физическому
процессу. Вообще, любой итерационный процесс решения
стационарной задачи можно трактовать как процесс
установления некоторой эволюционной задачи (натуральной или
ненатуральной).
Примером прямого метода является
метод Гаусса. Метод
Гаусса весьма трудоёмок и для решения сеточных уравнений
практически не применяется. Как указывалось ранее, матрицы
сеточных уравнений сильно разрежены, что позволяет
использовать более эффективные методы.
По аналогии с одномерным случаем, в многомерном случае
может использоваться матричная прогонка. Например, в
двумерном случае рассмотрим конечно-разностный аналог
уравнения Пуассона
в квадрате. Для простоты будем
рассматривать сетку, имеющую NxN квадратных ячеек.
1
h
2
(u
i+1,j
+u
i-1,j
+u
i,j+1
+u
i,j-1
-4u
i,j
)=f
i,j
(7.4)
Система N
2
скалярных уравнений (7.4) формально может быть
заменена системой N-2 векторных уравнений
w
i+1
+w
i-1
-2B
^
w
i
=h
2
F
i
(7.5)
где w
i
=(u
i,0
…u
i,N
) и F
i
=(f
i,0
…f
i,N
) - N - мерные векторы,
B
^
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
-2 1 .
1-21.
1 -2.
....
- трёхдиагональная матрица NxN. Совместно с
краевыми условиями получим систему N векторных уравнений,
которая может быть решена векторной прогонкой. Однако
матрицы B, являющиеся коэффициентами векторных уравнений,
имеют большую размерность, зависящую от числа узлов сетки.
Чтобы отразить это обстоятельство, прогонку называют не
векторной, а матричной. В отличие от векторной прогонки,
матричная прогонка неэкономична, её
трудоёмкость составляет
O(N
3
*N)=O((N
2
)
2
) операций - пропорциональна квадрату числа
узлов сетки. По этой причине использование матричной
прогонки невыгодно. В случае задачи с размерностью больше
двух трудоёмкость матричной прогонки оказывается ещё более
неприемлемой. Существуют методы, позволяющие получить
решение за существенно меньшее число операций. Ниже
рассмотрены два прямых метода с малой трудоёмкостью: метод
декомпозиции и быстрого преобразования
Фурье.
В практике численного счёта широкое применение находят
итерационные методы, которые могут быть сделаны
экономичными и быстросходящимися. Ниже рассмотрены 
операций.    Итерационные     методы      позволяют     получить
приближённое решение (7.2)-(7.3) с заданной точностью.
Итерационному процессу может отвечать некоторый физический
эволюционный процесс. Однако можно записать итерационный
процесс, не соответствующий никакому реальному физическому
процессу.   Вообще,   любой   итерационный    процесс    решения
стационарной    задачи    можно    трактовать     как    процесс
установления некоторой эволюционной задачи (натуральной или
ненатуральной).
     Примером прямого метода является метод Гаусса. Метод
Гаусса весьма трудоёмок и для решения сеточных уравнений
практически не применяется. Как указывалось ранее, матрицы
сеточных   уравнений    сильно   разрежены,     что    позволяет
использовать более эффективные методы.
     По аналогии с одномерным случаем, в многомерном случае
может   использоваться   матричная    прогонка.    Например,   в
двумерном   случае   рассмотрим    конечно-разностный     аналог
уравнения   Пуассона   в    квадрате.    Для   простоты    будем
рассматривать сетку, имеющую NxN квадратных ячеек.

1
h2(ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1-4ui,j)=fi,j           (7.4)

Система N2 скалярных уравнений (7.4) формально может быть
заменена системой N-2 векторных уравнений

           ^
wi+1+wi-1-2Bwi=h2Fi                                  (7.5)

где wi=(ui,0…ui,N) и Fi=(fi,0…fi,N) - N - мерные векторы,
    -2 1 .
  ⎛
^ 1 -2 1 .
           ⎞
B=⎜ 1 -2.⎟ - трёхдиагональная матрица NxN. Совместно с
  ⎝ . . . .⎠
краевыми условиями получим систему N векторных уравнений,
которая может быть решена векторной прогонкой. Однако
матрицы B, являющиеся коэффициентами векторных уравнений,
имеют большую размерность, зависящую от числа узлов сетки.
Чтобы отразить это обстоятельство, прогонку называют не
векторной, а матричной. В отличие от векторной прогонки,
матричная прогонка неэкономична, её трудоёмкость составляет
O(N3*N)=O((N2)2) операций - пропорциональна квадрату числа
узлов сетки. По этой причине использование матричной
прогонки невыгодно. В случае задачи с размерностью больше
двух трудоёмкость матричной прогонки оказывается ещё более
неприемлемой.    Существуют   методы,   позволяющие   получить
решение за существенно меньшее число операций. Ниже
рассмотрены два прямых метода с малой трудоёмкостью: метод
декомпозиции и быстрого преобразования Фурье.
      В практике численного счёта широкое применение находят
итерационные     методы,    которые   могут    быть    сделаны
экономичными     и   быстросходящимися.    Ниже    рассмотрены

Страницы