Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 64 стр.

различные    модификации    метода    расщепления   и   метода
релаксации,    а   также   метод    вложенных   сеток.   Кроме
перечисленных, в вычислительной практике распространены
итерационные методы с чебышевской оптимизацией, общая
теория построения которых изложена например в [2],[18].
Основным    их    недостатком    является    резкое   снижение
эффективности в случае разностных схем с переменными
коэффициентами.


п.2.Прямые методы с малой трудоёмкостью.

     Рассмотрим метод декомпозиции, называемый также методом
чётно-нечётного исключения. Пусть число узлов сетки равно
степени двух; N=2m. Снова рассмотрим систему векторных
уравнений (7.5). Если взять любые три «соседние» уравнения

          ^
wi+wi-2-2Bwi-1=h2Fi-1
            ^
wi+1+wi-1-2Bwi=h2Fi                                         (7.6)
          ^
wi+2+wi-2Bwi+1=h2Fi+1

то видно, что переменные wi-1 и wi-1 можно исключить, заменив
                                                 ^        ^
(7.6)     одним      уравнением       wi+2+wi-2-2B2wi=h2(2BFi+Fi+1+Fi-1).
Проделав такую операцию со всеми триадами, мы получим
                                                                    ^
«сокращённую» систему с числом уравнений 2m-1, причём B(1)=
  ^        (1)  ^    (0)  (0)  (0)
=(B(0))2, F i =2B(0)F i +Fi+1+Fi-1. Продолжая процесс, мы после m-1
-го шага получим одно векторное трёхчленное уравнение с
двумя краевыми условиями, которое легко решается скалярной
прогонкой. Трудоёмкость алгоритма определяется главным
образом    трудоёмкостью        процесса     исключения     переменных,
которая     равна     O(N2*log2N).       Видно,     что    трудоёмкость
описанного алгоритма значительно ниже, чем у метода
матричной прогонки, однако здесь существенно используется
постоянство матрицы B для всех уравнений системы. Данное
обстоятельство является довольно обременительным, и сильно
ограничивает рамки применимости алгоритма.
     Другим экономичным методом решения (7.4) является метод
быстрого преобразования Фурье. Не останавливаясь на его
подробном изложении, отметим, что его трудоёмкость (по
числу операций) несколько выше, но близка к трудоёмкости
метода декомпозиции. Кроме того, он требует вычисления
тригонометрических        функций,       что     является     медленной
операцией.     Также     как    и    метод     декомпозиции,    быстрое
преобразование      Фурье      применимо      только    к   конечно     -
разностным уравнениям с постоянными коэффициентами.
     Как можно видеть, прямые методы решения сеточных
уравнений либо слишком трудоёмки, либо имеют ограниченную
область применимости.