Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

п.3.Методы релаксации.
Методы этого типа представляют собой различные вариации
метода Зейделя. Классический метод Зейделя решения систем
линейных уравнений может быть представлен в виде:
Σ
i
j=1
a
ij
x
^
j
+
Σ
N
j=i+1
a
ij
x
j
=f
i
(7.7)
x
^
i
легко вычисляются по схеме бегущего счёта.
Если ввести треугольные матрицы A
-
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
0000
a
21
000
a
31
a
32
00
a
41
a
42
a
43
0
, A
+
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
0a
12
a
13
a
14
00a
23
a
24
00 0a
34
0000
и диагональную D=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
a
11
000
0a
22
00
00a
33
0
000a
44
, то метод Зейделя можно
представить в виде:
(A
-
+D)x
^
+A
+
x=f (7.8)
или
(A
-
+D)(x
^
-x)+Ax=f (7.9)
Метод Зейделя сходится для произвольного самосопряжённого
положительного оператора А (см. ниже). В случае наличия у
матрицы А диагонального преобладания q|a
ii
|≥
Σ
i≠j
|a
ij
|, метод
Зейделя сходится как геометрическая прогрессия со
знаменателем q. Несколько видоизменив метод Зейделя,
получим метод релаксации. Он может быть представлен в виде:
(A
-
+
1
ω
D)(x
^
-x)+(A+D)x=f (7.10)
где ω - релаксационный параметр. При ω=1 метод релаксации
переходит в метод Зейделя. При ω>1 релаксацию называют
«верхней», а при ω<1 - «нижней». Докажем, что метод
релаксации сходится при 0<ω<2 (см. [1]) для положительно
определённого самосопряжённого оператора, если скалярное
произведение определено в виде (2.37). Воспользуемся
спектральным признаком. Для однородного метода (A
-
+
1
ω
D)x
^
=
=[(
1
ω
-1)D-A
+
]x условием сходимости является |λ|<1, где λ -
множитель перехода, т.е. собственное значение матрицы
(A
-
+
1
ω
D)
-1
[(
1
ω
-1)D-A
+
]. Если (A
-
+
1
ω
D)
-1
[(
1
ω
-1)D-A
+
]e=λ
e
то
[(
1
ω
-1)D-A
+
]e=(A
-
+
1
ω
D)λe и ([(
1
ω
-1)D-A
+
]e,e)=λ((A
-
+
1
ω
D)e,e). Но
A
-
=
1
2
(A
-
-A
+
)+
1
2
(A-D) и 
п.3.Методы релаксации.

     Методы этого типа представляют собой различные вариации
метода Зейделя. Классический метод Зейделя решения систем
линейных уравнений может быть представлен в виде:
 i             N

Σ
j=1
      aij^
         xj+   Σa
           j=i+1
                       ijxj=fi                                          (7.7)
^
xi легко вычисляются по схеме бегущего счёта.
                                           0 0 00         0a12a13a14
                                        ⎛ a   0  0 0⎞   ⎛ 0 0 a23a24⎞
Если ввести треугольные матрицы A =⎜a a 0 0⎟, A =⎜0 0 0 a ⎟
                                      -    21         +
                                           31 32                  34
                                        ⎝a41a42a430⎠    ⎝0 0 0 0 ⎠
                    ⎛a011a022 00 00 ⎞
и диагональную D=⎜ 0 0 a 0 ⎟, то метод Зейделя можно
                               33
                    ⎝ 0 0 0 a44⎠
представить в виде:
      ^+A+x=f
(A-+D)x                                                   (7.8)
или
       ^-x)+Ax=f
(A-+D)(x                                                  (7.9)
Метод Зейделя сходится для произвольного самосопряжённого
положительного оператора А (см. ниже). В случае наличия у
матрицы            А     диагонального   преобладания   q|aii|≥   Σ|a
                                                                  i≠j
                                                                        ij|,   метод
Зейделя    сходится    как   геометрическая     прогрессия    со
знаменателем    q.   Несколько   видоизменив    метод   Зейделя,
получим метод релаксации. Он может быть представлен в виде:
     1   ^-x)+(A+D)x=f
(A-+ D)(x                                             (7.10)
    ω
где ω - релаксационный параметр. При ω=1 метод релаксации
переходит в метод Зейделя. При ω>1 релаксацию называют
«верхней», а при ω<1 - «нижней». Докажем, что метод
релаксации сходится при 0<ω<2 (см. [1]) для положительно
определённого самосопряжённого оператора, если скалярное
произведение    определено   в   виде   (2.37).    Воспользуемся
                                                           1 ^
спектральным признаком. Для однородного метода (A-+ D)x        =
                                                           ω
   1
=[( -1)D-A+]x условием сходимости является |λ|<1, где λ -
   ω
множитель перехода, т.е. собственное значение матрицы
     1     1                          1      1
(A-+ D)-1[( -1)D-A+].    Если     (A-+ D)-1[( -1)D-A+]e=λe    то
    ω      ω                          ω      ω
  1               1            1                    1
[( -1)D-A+]e=(A-+ D)λe и ([( -1)D-A+]e,e)=λ((A-+ D)e,e). Но
  ω               ω            ω                    ω
   1        1
A-=2(A--A+)+2(A-D) и

Страницы