Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 66 стр.

   1                     1 1        1        1
  ( -1)(e,De)-(A-e,e)* (2- )(e,De)+2(Ae,e)*+2((A--A+)e,e)*
   ω                        ω
λ= 1                  =- 1 1         1       1             .
      (e,De)+(A-e,e)    ( -2)(e,De)+2(Ae,e)+2((A--A+)e,e)
     ω                    ω
Для произвольного комплексного вектора e и вещественного
положительного симметричного оператора (Ae,e), (De,e) –
вещественные положительные числа. Т.к. (A-)Т=A+, то A--A+=-(A-
-A+)Т - кососимметричный оператор и ((A--A+)e,e) – чисто
                                      1 1
мнимая величина. Поэтому |λ|<1 при 2- <0, что справедливо
                                        ω
при 0<ω<2. Что и требовалось доказать.
     Оценки скорости сходимости релаксационных методов для
решения модельного эллиптического уравнения, приведённые в
[2], дают число итераций n(ε)~h-2ln(1/ε), где ε - остаточная
погрешность. Скорость сходимости метода релаксации зависит
от параметра ω. Существует оптимальное значение параметра,
при котором метод сходиться со скоростью n(ε)~h-1ln(1/ε). Это
значение зависит от спектра оператора А и вычисляется
весьма сложно. На практике его подбирают экспериментально с
целью достижения наиболее быстрой сходимости.
     Релаксационные методы широко применяются на практике.
Их достоинством является применимость для решения систем
уравнений достаточно общего вида. В тоже время, в некоторых
случаях сходимость метода оказывается очень медленной.


п.4.Попеременно-треугольный метод (ПТМ).

      Рассмотрим некоторый оператор В, представимый в виде
суммы     положительно        определённых      верхней      и     нижней
                               +  -
треугольных матриц, В=В +В . Можно составить итерационный
метод
                ^
                x-x
(1+ωB-)(1+ωB+)       =Ax-f                                    (7.11)
                  τ
Для нахождения x    ^ нужно последовательно решить две системы
                     i
уравнений с верхней и нижней треугольными матрицами (отсюда
и название метода). Например, для уравнения Пуассона (7.4)
можно     взять       B=-A,      тогда    B-ui,j=(2ui,j-ui-1,j-ui-1,j)/h2,
 +                            2
B ui,j=(2ui,j-ui+1,j-ui+1,j)/h . Важным достоинством ПТМ является
применимость для решения эллиптических и параболических
уравнений любой размерности, вид метода при этом не
меняется.
      Как показано в §6, при таком выборе операторов
итерационный метод (7.11) устойчив при ω≥τ/2, однако в
данном случае он устойчив и при некоторых ω<τ/2. Практически
итерационные       параметры      ω,    τ   подбирают      из    условия
наискорейшей сходимости. Как показано в [2], для решения
модельного      эллиптического        уравнения     оценки      скорости
сходимости при оптимальных ω, τ дают число итераций