Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n(ε)≅0,3h
-1/2
ln(1/ε), где ε - остаточная погрешность, что
заметно меньше числа итераций по методу релаксации.
п.5 Методы переменных направлений (МПН).
Для неположительного оператора А может быть поставлена
корректная эволюционная задача.
x
^
-x
τ
=Ax-f (7.12)
В случае (7.4) она соответствует двумерному уравнению
теплопроводности. Раскладывая -А в сумму операторов -
A=A
x
+A
y
, таких, что A
x
u
i,j
=(2u
i,j
-u
i-1,j
-u
i+1,j
), A
y
u
i,j
=(2u
i,j
-u
i,j-
1
-u
i,j+1
) мы можем применить какой-либо из описанных выше МПН.
Например, простое покомпонентное расщепление приводит к
безусловно устойчивому алгоритму вида:
(1+ατA
x
)(1+ατA
y
)x
^
=τf+x (7.13)
Оба шага этого алгоритма реализуются скалярными прогонками,
что обеспечивает экономичность каждой итерации. Недостатком
метода, как отмечалось выше, является отсутствие свойства
полной аппроксимации.
Используя метод стабилизирующей поправки, можно
построить итерационную схему, обладающую свойством полной
аппроксимации
(1+ατA
x
)(1+ατA
y
)(x
^
-x)=τ(f-Ax), (7.14)
устойчивую при α≥1/2.
Как и для большинства итерационных методов, существует
оптимальное значение τ, обеспечивающее наиболее быструю
сходимость.
Исторически уравнение теплопроводности было первым
уравнением, для решения которого была применена схема
расщепления (упоминавшаяся выше схема Письмана-Рэчфорда).
По трудоёмкости продольно-поперечная схемы эквивалентна
схеме со стабилизирующей поправкой (7.14). Экономичность,
высокоустойчивость и
полная аппроксимация привели к тому,
что продольно-поперечная схема до сих пор остаётся одним из
самых популярных методов расщепления и применяется для
решения как стационарных, так и временных задач.
Оценки скорости сходимости при решении модельного
эллиптического уравнения, полученные в [2], дают выражение
для необходимого числа итераций МПН, примерно вдвое меньшее
числа
итераций в случае ПТМ. Однако, каждая итерация по МПН
в 3-4 раза более трудоёмка по сравнению с ПТМ.
Если решается задача с постоянными коэффициентами на
равномерной сетке, то используя оптимизацию Вашпресса,
число итераций МПН можно значительно сократить:
n(ε)~ln(1/h)ln(1/ε).
МПН успешно применяются для решения разностных аналогов
систем уравнений вида 
n(ε)≅0,3h-1/2ln(1/ε), где ε - остаточная погрешность,            что
заметно меньше числа итераций по методу релаксации.


п.5 Методы переменных направлений (МПН).

      Для неположительного оператора А может быть поставлена
корректная эволюционная задача.
^
x-x
    =Ax-f                                                (7.12)
  τ
В случае (7.4) она соответствует двумерному уравнению
теплопроводности. Раскладывая -А в сумму операторов -
A=Ax+Ay, таких, что Axui,j=(2ui,j-ui-1,j-ui+1,j), Ayui,j=(2ui,j-ui,j-
1-ui,j+1) мы можем применить какой-либо из описанных выше МПН.
Например, простое покомпонентное расщепление приводит к
безусловно устойчивому алгоритму вида:
(1+ατAx)(1+ατAy)x^=τf+x                                  (7.13)
Оба шага этого алгоритма реализуются скалярными прогонками,
что обеспечивает экономичность каждой итерации. Недостатком
метода, как отмечалось выше, является отсутствие свойства
полной аппроксимации.
      Используя     метод   стабилизирующей     поправки,     можно
построить итерационную схему, обладающую свойством полной
аппроксимации
(1+ατAx)(1+ατAy)(x^-x)=τ(f-Ax),                          (7.14)
устойчивую при α≥1/2.
      Как и для большинства итерационных методов, существует
оптимальное значение τ, обеспечивающее наиболее быструю
сходимость.
      Исторически уравнение теплопроводности было первым
уравнением, для решения которого была применена схема
расщепления (упоминавшаяся выше схема Письмана-Рэчфорда).
По трудоёмкости продольно-поперечная схемы эквивалентна
схеме со стабилизирующей поправкой (7.14). Экономичность,
высокоустойчивость и полная аппроксимация привели к тому,
что продольно-поперечная схема до сих пор остаётся одним из
самых популярных методов расщепления и применяется для
решения как стационарных, так и временных задач.
      Оценки скорости сходимости при решении модельного
эллиптического уравнения, полученные в [2], дают выражение
для необходимого числа итераций МПН, примерно вдвое меньшее
числа итераций в случае ПТМ. Однако, каждая итерация по МПН
в 3-4 раза более трудоёмка по сравнению с ПТМ.
      Если решается задача с постоянными коэффициентами на
равномерной сетке, то используя оптимизацию Вашпресса,
число      итераций     МПН   можно    значительно       сократить:
n(ε)~ln(1/h)ln(1/ε).
      МПН успешно применяются для решения разностных аналогов
систем уравнений вида

Страницы