Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 69 стр.

числитель левой части меньше или равен знаменателю, то
неравенство заведомо выполнено при α≥1/2.
     Использование        несогласованных       стабилизирующих
операторов    эффективно    и  в   общем   случае   многомерных
эллиптических уравнений с перекрёстными членами. Однако,
для    многомерной     задачи    при   значительной    величине
перекрёстных членов безусловную устойчивость полученных
схем при α≥1/2 гарантировать нельзя. Тем не менее, благодаря
условию эллиптичности оператора A, безусловной устойчивости
всегда можно добиться, увеличивая α: часто берут α~1 и даже
α>1.
     В    случае    решения    уравнений    с    оператором   A
неэллиптического      типа    использование     несогласованных
стабилизирующих операторов не всегда позволяет получить
безусловно устойчивые алгоритмы.
     Варианты МПН весьма популярны среди вычислителей. Одна
из причин такой популярности связана с тем, что получаемые
итерационные схемы обычно натуральны, т.е. соответствуют
некоторому физическому процессу, а это позволяет легко
переходить от решения временных задач к стационарным и
обратно сравнительно небольшой модификацией кода. С другой
стороны, при отладке итерационных схем данного типа удобно
пользоваться аналогиями с эволюцией решения временной
задачи, поведение которого часто известно по крайней мере
качественно.

      Для всех описанных итерационных методов существует
оптимальное значение τ, обеспечивающее наиболее быструю
сходимость.         Причина     этого    достаточно      проста.    Для
итерационных алгоритмов, представимых в виде схемы со
стабилизирующей поправкой (как (7.11) и (7.14)) сходимость
к стационару тем быстрее, чем ближе расщеплённый оператор
(1+τA1)(1+τA2)/τ=(1/τ+τA1A2)+(A1+A2) к нерасщеплённому A1+A2.
Для быстрой сходимости τ следует выбирать таким (оставляя в
стороне вопрос о ширине спектра операторов A1 и A2), чтобы
⎢⎟A1+A2⎢⎟/(1/τ+τ⎢⎟A1A2⎢⎟)=max или τ∼1/ ⎢⎟A1A2⎢⎟, что обычно близко к
 характерному        времени     процесса,      моделируемого    схемой
 расщепления. Для сравнения: в случае полностью неявного
 метода (1+τA)/τ=1/τ+A тем ближе к A, чем больше τ.


п.6 Метод вложенных сеток.

     Данный метод предназначен для итерационного решения
эллиптических уравнений. Метод предложен Р.П.Федоренко и
представляет собой обобщение явного метода установления
(7.12), где A – некоторый эллиптический оператор. Основным
недостатком   (7.12)    является   чрезвычайно   медленная
сходимость, однако разные Фурье-компоненты погрешности
убывают с разными скоростями. Наиболее быстро убывают