Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Σ
k
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
A
k
∂w
∂x
k
+B
k
∂
2
w
∂x
2
k
+Cw=f (7.17)
не содержащих смешанных производных. В случае систем со
смешанными производными типа
Σ
k
A
k
∂w
∂x
k
+
Σ
k,s
B
k,s
∂
2
w
∂x
k
∂x
s
+Cw=f (7.18)
метод расщепления усложняется (см. [11]), поскольку
дифференциальный оператор
Σ
k,s
B
k,s
∇
k
∇
s
не представим в виде
суммы операторов, содержащих производные только по одной
переменной. Разностные аналоги системы типа (7.18) обычно
решаются методом релаксации или ПТМ. Можно решить (7.18) и
методом расщепления с несогласованным стабилизирующим
оператором. Проиллюстрируем это на примере двумерного
эллиптического уравнения
aU
xx
+2bU
xy
+cU
yy
=f(x,y). (7.19)
Для эллиптичности (7.19) должны выполнятся условия a>0,
c>0, b
2
<ac. Рассмотрим конечно-разностную схему расщепления
со стабилизирующей поправкой:
(1-ατA
x
)(1-ατA
y
)(u
^
-u)=τ(Au-f) (7.20)
где A=-aΛ
xx
-2bΛ
xy
-cΛ
yy
, A
x
=-aΛ
xx
, A
y
=-cΛ
yy
. Оператор Λ
xy
,
аппроксимирующий смешанные производные со вторым порядком
точности имеет вид Λ
xy
u
i,j
=(u
i+1,j+1
-u
i+1,j-1
-u
i-1,j+1
+u
i-1,j-1
)/
/(4h
x
h
y
). В данном случае A≠A
x
+A
y
- стабилизирующий оператор
«несогласован». Очевидно, (7.20) обладает свойством полной
аппроксимации. Исследуем её устойчивость. Подстановка
Фурье-компоненты λ
n
e
ipx+iqy
даёт множитель перехода однородной
схемы:
λ=1-
q
1
sin
2
ϕ
2
+q
2
sin
2
ψ
2
+
2b
ac
q
1
q
2
sin
ψ
2
sin
ϕ
2
cos
ψ
2
cos
ϕ
2
1+αq
1
sin
2
ϕ
2
+αq
2
sin
2
ψ
2
+ α
2
q
1
q
2
sin
2
ψ
2
sin
2
ϕ
2
(7.21)
Вид выражения (7.21) довольно сложен, поэтому найдём лишь
достаточное (возможно завышенное) условие устойчивости. В
силу условия эллиптичности b
2
<ac числитель (7.21)
неотрицателен. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского,
оценим знаменатель (7.21) как
1+αq
1
sin
2
ϕ
2
+αq
2
sin
2
ψ
2
+α
2
q
1
q
2
sin
2
ψ
2
sin
2
ϕ
2
≥αq
1
sin
2
ϕ
2
+αq
2
sin
2
ψ
2
+
+
1*α
2
q
1
q
2
sin
2
ψ
2
sin
2
ϕ
2
=α(q
1
sin
2
ϕ
2
+q
2
sin
2
ψ
2
+2 q
1
q
2
|sin
ψ
2
sin
ϕ
2
|)
Для безусловной устойчивости (7.20) достаточно
потребовать, чтобы
q
1
sin
2
ϕ
2
+q
2
sin
2
ψ
2
+
2b
ac
q
1
q
2
sin
ψ
2
sin
ϕ
2
cos
ψ
2
cos
ϕ
2
q
1
sin
2
ϕ
2
+q
2
sin
2
ψ
2
+2 q
1
q
2
|sin
ψ
2
sin
ϕ
2
|
≤2α. Так как 
    ⎛ ∂w    ∂2w⎞
Σ
k
    ⎜Ak
    ⎝ ∂xk
         +Bk 2⎟+Cw=f
            ∂xk⎠
                                                                 (7.17)
не содержащих смешанных производных. В случае систем со
смешанными производными типа
     ∂w         ∂2w
Σk
         Σ
   Ak + Bk,s
     ∂xk k,s   ∂xk∂xs
                     +Cw=f                         (7.18)
метод      расщепления     усложняется (см. [11]),  поскольку
дифференциальный       оператор    ΣB
                                   k,s
                                         k,s∇k∇s   не   представим   в   виде
суммы операторов, содержащих производные только по одной
переменной. Разностные аналоги системы типа (7.18) обычно
решаются методом релаксации или ПТМ. Можно решить (7.18) и
методом     расщепления       с   несогласованным         стабилизирующим
оператором. Проиллюстрируем это на примере двумерного
эллиптического уравнения
aUxx+2bUxy+cUyy=f(x,y).                                          (7.19)
Для эллиптичности (7.19) должны выполнятся условия a>0,
c>0, b2

Страницы