Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 60 стр.

В.Н.Абрашина и сотрудников. Однако рассмотрение            этого
метода выходит за рамки данного пособия.


п.5.Реализация   краевых   условий   в   схемах   расщепления   по
направлениям.

     Как и дифференциальные, конечно-разностные уравнения
для замыкания должны быть дополнены краевыми условиями. При
составлении конечно-разностных схем встречаются краевые
условия трёх типов: первого, второго и третьего. Мы
ограничимся рассмотрением простого случая, когда граница
расчётной области проходит по узлам сетки, а краевые
условия имеют линейную форму. Для определённости будем
рассматривать    краевые   условия  на   левой   вертикальной
границе. При этом наиболее простой вид имеют условия
первого рода, которые естественным образом получаются из
соответствующих условий дифференциальной задачи:
u0j=aj,                                            (6.12)
где aj - заданный массив чисел. Условия второго рода
получаются   при    аппроксимации  дифференциальных   краевых
условий типа (n∇)u|x=0=a(y), где n, a - заданные функции:
(njxΛx+njyΛy)u0j=aj.                                   (6.13)
Как обычно, в качестве Λx и Λy могут использоваться
операторы с направленной или центральной разностью. Краевые
условия     третьего     рода     представляют   собой   линейную
комбинацию (6.12) и (6.13):
(njxΛx+njyΛy)u0j+bju0j=aj.                             (6.14)
В    одномерном     случае    условия    (6.12)-(6.14)   являются
естественным дополнением уравнений во внутренних узлах и
приводят к системе уравнений решаемой скалярной прогонкой.
Однако, их непосредственное обобщение на многомерный случай
требует применения матричной прогонки для решения конечно-
разностных уравнений. В случае применения экономичных схем
расщепления по направлениям краевые условия (6.13)-(10.14)
нарушают одномерную структуру конечно-разностных уравнений
на дробных шагах. Явный учёт одного из членов Λxu или Λyu
входящих в (6.14)-(10.13) весьма нежелателен, так как
делает алгоритм условно устойчивым. Для записи краевых
условий     в    форме,     обеспечивающей     высокоустойчивость
алгоритма в работах В.М.Ковени и Н.Н.Яненко [17],[11] было
предложено расщеплять краевые условия аналогично тому, как
это проделывается с уравнениями во внутренних узлах. Для
этого из (6.13) или (6.14) составляется эволюционное
уравнение вида:
^
u0j-u0j                 ^ +b ^
       +ωj[(njxΛx+njyΛy)u    ju0j]=ωjaj,               (6.15)
   τ                     0j

где ωj - некоторый параметр. После этого, в полной аналогии
с тем, как это делалось выше от (6.15) переходят к схеме в
дробных шагах