Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

+
1
4
A
2
s
+
1
2
A
2
s
+B
s-1
A
s
+A
s
B
s-1
)+O(τ
3
)=1-τ(B
s-1
+A
s
)+
τ
2
2
(B
s-1
+ +A
s
)
2
+O(τ
3
)=1-
τB
s
+
τ
2
2
B
2
s
+O(τ
3
)
Что и требовалось доказать. Как и метод простого
покомпонентного расщепления, двуциклический метод не
обладает свойством полной аппроксимации.
п.4.Схемы расщепления полной аппроксимации.
Первой схемой полной аппроксимации была продольно-
поперечная схема Д.Письмана и Г.Рэчфорда [19]. Алгоритм
применим для расщепления на два оператора и может быть
представлен в виде
ξ
-u
τ/2
+A
1
ξ+A
2
u=f
u
^
-ξ
τ/2
+A
1
ξ+A
2
u
^
=f
(6.7)
Для доказательства аппроксимации алгоритма вычтем друг из
друга выражения дробных шагов (6.7). Получим
u
^
+u-2ξ
τ/2
=A
2
(u-u
^
)=O(τ), откуда ξ=
u
^
+u
2
+O(τ
2
). Складывая дробные
шаги (6.7) получаем, что
u
^
-u
τ
+A
1
ξ+A
2
u
^
+u
2
=f или
u
^
-u
τ
+(A
1
+A
2
)
u
^
+u
2
-
f=A
1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
u
^
+u
2
-ξ =O(τ
2
). Следовательно, схема Письмана-Рэчфорда
обеспечивает аппроксимацию второго порядка по времени. Для
исследования её устойчивости запишем выражение оператора
шага в случае однородной схемы:
u
^
=(1+
τ
2
A
2
)
-1
(1-
τ
2
A
1
)(1+
τ
2
A
1
)
-1
(1-
τ
2
A
2
)u.
Удобно перейти к переменной w=(1+
τ
2
A
2
)u. Для этой переменной
выражение для оператора перехода примет вид
w
^
=T
1
T
2
w, где T
s
=(1-
τ
2
A
s
)(1+
τ
2
A
s
)
-1
=P
s
Q
-1
s
. Очевидно, устойчивость
алгоритма будет доказана, если ⎢⎟T
s
⎢⎟≤1 и ⎢⎟u⎢⎟≤⎢⎟w⎢⎟. Первое
утверждение известно как лемма Келлога:
⎢⎟T⎢⎟=⎢⎟(1-εA)(1+εA)
-1
⎢⎟=sup
u
(PQ
-1
u,PQ
-1
u)
(u,u)
=sup
w
(Pw,Pw)
(Qw,Qw)
=
=sup
w
(w,w)-2ε(w,Aw)+ε
2
(Aw,Aw)
(w,w)+2ε(w,Aw)+ε
2
(Aw,Aw)
≤1, поскольку для
неотрицательного оператора A и положительного ε для любой
пробной функции w 2ε(w,Aw)≥0. Для справедливости второго
утверждения достаточно доказать, что ⎢⎟(1+
τ
2
A
2
)
-1
⎢⎟≤1. Но 
 1 2 1 2                                   τ2
+4As+2As+Bs-1As+AsBs-1)+O(τ3)=1-τ(Bs-1+As)+ 2 (Bs-1+    +As)2+O(τ3)=1-
    τ2 2
τBs+ 2 Bs+O(τ3)
Что     и   требовалось    доказать.    Как     и    метод   простого
покомпонентного      расщепления,     двуциклический       метод    не
обладает свойством полной аппроксимации.


п.4.Схемы расщепления полной аппроксимации.

          Первой схемой полной аппроксимации была продольно-
поперечная схема Д.Письмана и Г.Рэчфорда [19]. Алгоритм
применим для расщепления на два оператора и может быть
представлен в виде
ξ-u
      +A ξ+A2u=f
 τ/2 1
^                                                                 (6.7)
u-ξ            ^
      +A ξ+A2u=f
 τ/2 1
Для доказательства аппроксимации алгоритма вычтем друг из
друга выражения дробных шагов (6.7). Получим
^
u+u-2ξ                                     ^
                  ^)=O(τ), откуда ξ=u+u+O(τ2). Складывая дробные
            =A2(u-u
   τ/2                                      2
                                    ^
                                    u-u          ^
                                                 u+u         ^
                                                             u-u         ^
                                                                         u+u
шаги (6.7) получаем, что                 +A1ξ+A2 2 =f или        +(A1+A2) 2 -
                                      τ                        τ
          ^
        ⎛u+u ⎞
f=A1⎜ 2 -ξ⎟=O(τ2).       Следовательно,           схема   Письмана-Рэчфорда
        ⎝       ⎠
обеспечивает аппроксимацию второго порядка по времени. Для
исследования её устойчивости запишем выражение оператора
шага в случае однородной схемы:
^          τ        τ       τ          τ
u=(1+2A2)-1(1-2A1)(1+2A1)-1(1-2A2)u.
                                               τ
Удобно перейти к переменной w=(1+2A2)u. Для этой переменной
выражение для оператора перехода примет вид
^                         τ        τ           -1
w=T1T2w, где Ts=(1-2As)(1+2As)-1=PsQ s . Очевидно, устойчивость
алгоритма будет доказана, если ⎢⎟Ts⎢⎟≤1 и ⎢⎟u⎢⎟≤⎢⎟w⎢⎟. Первое
утверждение известно как лемма Келлога:
                              (PQ-1u,PQ-1u)         (Pw,Pw)
⎢⎟T⎢⎟=⎢⎟(1-εA)(1+εA)-1⎢⎟=sup     (u,u)        =sup         =
                           u                     w (Qw,Qw)
         (w,w)-2ε(w,Aw)+ε2(Aw,Aw)
=sup                       2          ≤1,             поскольку           для
     w (w,w)+2ε(w,Aw)+ε (Aw,Aw)

неотрицательного оператора A и положительного ε для любой
пробной функции w 2ε(w,Aw)≥0. Для справедливости второго
                                                        τ
утверждения достаточно доказать, что ⎢⎟(1+2A2)-1⎢⎟≤1. Но

Страницы