Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 47 стр.

немонотонной схемы осцилляций может и не быть. Условием
возникновения осцилляций является негладкость решения,
наличие в нём больших градиентов. В области с большими
градиентами   решения    требуется   использовать   безусловно
монотонный метод. В области где решение гладкое, можно
использовать немонотонный метод с высокой аппроксимацией.
Качественно        ситуация      аналогична       суммированию
асимптотического ряда: количество слагаемых, удерживаемых
для достижения наибольшей точности тем больше, чем выше
гладкость функции, разлагаемой в ряд.
     Рассмотрим, например численный метод, представляющий
собой комбинацию монотонной схемы первого порядка (3.2) и
схемы «квадрат» второго порядка (q=vτ/h):
  ^ -u )(1+q)+(u
[(u             ^ -u )(1-q)]β(u)+
   i+1 i         i   i+1
 ^                                 ,                (5.10)
[u +u q-u (1+q)][1-β(u)]=0
  i   i+1   i
где β(u) - «функция управления», меняющаяся в пределах 0≤β≤1
и зависящая тем или иным образом от локальной гладкости
решения. При β=0 получаем метод (3.2) первого порядка, а при
β=1 - метод (3.20) второго порядка. Схемы такого типа
получили      название   гибридных.    Вероятно   первая   схема
подобного рода была предложена в работе Р.П.Федоренко [6].
Для анализа гладкости использовалось отношение η=⎜ui+1-2ui+ui-
1⎜/⎜ui+1-ui⎜. При η<ηкр бралось β=1, иначе β=0. Несмотря на
простоту такого анализатора, он дал хорошие результаты, и
находит применение до сих пор.
      На рис.3 показаны результаты решения уравнения (3.1) по
данной гибридной схеме при ηкр=1, q=0,1. Видно, что она
позволяет      практически    полностью   устранить   осцилляции
решения, сохранив малую ширину фронта, характерную для
метода     второго    порядка   точности.   Степень   подавления
осцилляций можно менять подбором параметра ηкр. С его
увеличением выброс на вершине фронта растёт, с уменьшением
- выброс пропадает и увеличивается размывание фронта.
      С середины 60х годов и до наших дней гибридные методы
остаются весьма популярными. Было предложено множество
разнообразных функций управления, а также переключение
между тремя и более методами различной точности. Рассмотрим
предложенный в 70х годах в США Д.Л.Буком и Ж.П.Борисом метод
коррекции потоков (FCT) (см. [7]).
      Пусть требуется решить уравнение переноса по явной
схеме. На трёхточечном шаблоне конечно-разностное уравнение
можно представить в виде:
^
ui=ui-1(-ε-ν)+ui(1+2ν)+ui+1(ε-ν),                     (5.11)
где ε=vτ/(2h). При ν=⎜ε⎜ получаем монотонную схему «против
потока», при ν=(vτ/h)2/2 - схему Лакса-Вендроффа (3.19а)
второго порядка. По методу коррекции потоков вначале
                                          1
находятся предварительное значение ui по монотонной схеме