Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

из точек, например j
0
. Тогда V
^
j0
-V
^
j0-1
=u
^
j0
<0, и функция
V
^
i
убывает при i=j
0
, что противоречит монотонности (5.5).
Лемма доказана.
Основной интерес представляет критерий, пользуясь которым,
можно было бы проверить монотонность разностной схемы.
Такой критерий устанавливает следующая теорема:
Пусть существует некоторое p, 0≤p≤m, такое, что
коэффициенты a
k
, b
k
удовлетворяют следующим условиям:
b
p
<0, b
k
≥0 при k≠p, a
k
≥0 и -b
p
>
Σ
k≠p
b
k
. (5.7)
Тогда схема (5.5) положительно определена.
Доказательство.
Допустим, что схема (5.5) не является положительно
определённой. Тогда существует неотрицательная сеточная
функция u
i
при которой решение отрицательно по крайней
мере в одной точке. Пусть в точке j решение принимает
наибольшее по модулю отрицательное значение. Тогда
u
^
j
=
Σ
k≠p
b
k
-b
p
u
^
k+j-p
+
Σ
m
k=0
a
k
-b
p
u
k+j-p
≥
Σ
k≠p
b
k
-b
p
u
^
k+j-p
≥u
^
j
Σ
k≠p
b
k
-b
p
>u
^
j
.
Полученное противоречие и доказывает признак.
Доказанный признак является базовым, и широко используется
при построении разностных схем. Однако он не является
необходимым условием монотонности.
Замечание.
Линейный неявный метод формально можно
представить в виде:
u
^
i
=
Σ
∞
k=-∞
a
k
u
i+k
. (5.8)
В этом случае схема (5.8) монотонна тогда и только тогда,
когда все
a
k
≥0. (5.9)
Достаточность этого условия для положительности схемы
очевидна. Докажем необходимость.
Пусть хотя бы один из a
k
<0 при k=l. Положим u
i
=1 при i=p
и u
i
=0 при i≠p. Тогда u
^
p-1
=
Σ
∞
k=-∞
a
k
u
p-l+k
=a
1
u
p
=a
1
<0.
Следовательно, по крайней мере в одной точке решение
отрицательно.
Данный признак особенно удобен для явных схем,
поскольку ряд (5.8) при этом переходит в конечную сумму.
Для неявных схем проверка данного признака затруднена, и он
оказывается полезным лишь в некоторых простейших случаях.
Рассмотрим примеры.
Пример 1
Уравнение теплопроводности.
а)Явная схема (3.22). Схему можно представить в виде:
u
^
i
=[qu
i+1
+(4-2q)u
i
+qu
i-1
]/4. Для справедливости (5.9)
требуется q<2, что всегда имеет место при устойчивости.
б)Неявная схема (3.23). Схему можно представить в виде: 
   из точек, например j0. Тогда       ^ -V
                                      V   ^     ^
                                       j0  j0-1=uj0<0, и функция
   ^
   Vi убывает при i=j0, что противоречит монотонности (5.5).
Лемма доказана.
Основной интерес представляет критерий, пользуясь которым,
можно было бы проверить монотонность разностной схемы.
Такой критерий устанавливает следующая теорема:
     Пусть существует некоторое p, 0≤p≤m, такое, что
коэффициенты ak, bk удовлетворяют следующим условиям:
bp<0, bk≥0 при k≠p, ak≥0 и -bp>      Σb .
                                     k≠p
                                           k                   (5.7)
Тогда схема (5.5) положительно определена.
Доказательство.
   Допустим, что схема (5.5) не является положительно
   определённой. Тогда существует неотрицательная сеточная
   функция ui при которой решение отрицательно по крайней
   мере в одной точке. Пусть в точке j решение принимает
   наибольшее по модулю отрицательное значение. Тогда
                  m
          bk ^       ak         bk               bk ^
      k≠p
          Σ p
                 k=0
                       pΣ   k≠p
                                Σ
   uj= -b uk+j-p+ -b uk+j-p≥ -b ^
   ^
                                  p
                                          ^
                                   uk+j-p≥uj
                                            k≠p
                                               Σ-bp>uj.
   Полученное противоречие и доказывает признак.
Доказанный признак является базовым, и широко используется
при построении разностных схем. Однако он не является
необходимым условием монотонности.
Замечание.     Линейный     неявный       метод       формально можно
представить в виде:
      ∞
^
ui=   Σa u
   k=-∞
              k i+k.                                           (5.8)
В этом случае схема (5.8) монотонна тогда и только тогда,
когда все
 ak≥0.                                             (5.9)
Достаточность этого условия для положительности схемы
очевидна. Докажем необходимость.
     Пусть хотя бы один из ak<0 при k=l. Положим ui=1 при i=p
                                                      ∞
          и      ui=0   при   i≠p.   Тогда     ^ =
                                               up-1   Σa u
                                                   k=-∞
                                                          k p-l+k=a1up=a1<0.

     Следовательно, по крайней мере в одной точке решение
     отрицательно.
     Данный    признак   особенно  удобен   для  явных схем,
поскольку ряд (5.8) при этом переходит в конечную сумму.
Для неявных схем проверка данного признака затруднена, и он
оказывается полезным лишь в некоторых простейших случаях.
Рассмотрим примеры.
Пример 1 Уравнение теплопроводности.
     а)Явная схема (3.22). Схему можно представить в виде:
     ^
     ui=[qui+1+(4-2q)ui+qui-1]/4. Для   справедливости (5.9)
     требуется q<2, что всегда имеет место при устойчивости.
     б)Неявная схема (3.23). Схему можно представить в виде:

Страницы