Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 41 стр.

векторная прогонка экономична, но её трудоёмкость быстро
растёт с ростом числа уравнений.
     Также как и скалярная, векторная прогонка допускает
модификацию - выбор главного элемента. Алгоритм такой
прогонки довольно сложен и здесь не рассматривается.
     Помимо изложенных, известны другие виды прогонок для
систем     с    трёхдиагональной    матрицей     (потоковая,
тригонометрическая, ортогональная и др.), а также прогонки
для систем с числом диагоналей большим трёх. Мы на них
останавливаться не будем.



            §5.Дополнительные свойства
                 разностных схем.
п.1.Введение.

     Теорема Филиппова-Рябенького устанавливающая стремление
сеточного решения к точному в пределе h→0, τ→0 имеет два
обременительных ограничения:
а)указанный предельный переход предполагает бесконечное
   увеличение    трудоёмкости    решения    конечно-разностной
   задачи;
б)она справедлива только для гладких решений.
На   практике   желательно   снизить   трудоёмкость   решения,
увеличивая,   насколько    возможно,   временной    шаг  τ   и
пространственный h. С другой стороны, даже если ожидается
гладкое решение, в процессе счёта, на промежуточных
итерациях решение может стать негладким, что может привести
к развалу счёта. Если же и точное решение задачи негладкое,
то сходимость вообще не гарантируется (или требуется
уточнить понятие аппроксимации). В связи с этим, к
разностным     схемам     обычно     предъявляют     некоторые
дополнительные требования: консервативность, монотонность,
изотропность (для многомерных схем), определённая дисперсия
и др..


п.2.Консервативность схемы.

     Стремление снизить погрешность конечно-разностной схемы
в случае использования сравнительно грубых сеток или
возникновения   негладких   решений   привели  к   требованию
консервативности   разностных   схем.    Дело  в   том,   что
большинство дифференциальных уравнений представляют собой
(или могут быть представлены) запись закона сохранения
некоторой   физической   величины.   Например,   для   модели
сплошной среды уравнение неразрывности выражает закон
сохранения массы, уравнение Эйлера - закон сохранения
импульса и т.д. Естественно потребовать, чтобы для конечно-