Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

в левой части имеется в виду число
0
, а в правой части — нулевой вектор.
Норма (или длина) вектора
12
(, , , )
n
x xx x=
определяется равенст-
вом
22 2
12
|| ||
n
x xx x= +++
. Приведем некоторые свойства нормы.
1. Для любого
n
x∈
выполняется неравенство
|| || 0x ≥
, причем ра-
венство
|| || 0x =
имеет место тогда и только тогда, когда
0x =
.
2. Для любых
n
x∈
и
α
∈
имеет место равенство
.
3. Для любых
x
,
n
y∈
имеет место оценка
|| || || || || ||xy x y+≤ +
.
Первые два свойства очевидны. Для доказательства третьего свойст-
ва будет использовано следующее вспомогательное утверждение.
Л
ЕММА. Для любых
x
,
n
y∈
имеет место оценка
1
.
n
ii
i
xy x y
=
≤⋅
∑
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если
0x =
или
0y =
, то левая и правая части рав-
ны нулю, и требуемое соотношение, очевидно, выполняется. Предполо-
жим, что
0x ≠
и
0y ≠
.
Для
a
,
0b ≥
имеем:
22
22 2
( ) 2 0, .
22
ab
a b a ab b ab− =− +≥ ≤ +
Заменяя
a
на
at
при произвольном
0t >
, а
b
на
b
t
, отсюда выводим:
22
.
22
at b
ab
t
≤+
Применяем это неравенство к числам
||
i
ax=
,
||
i
by=
:
22
| || | .
22
ii
ii
xt y
xy
t
⋅≤ +
Теперь суммируем по
i
от 1 до
n
:
Глава 1
4
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы