ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
22
11
1
| | | | || || || || .
22 2 2
nn
ii
ii
ii
xt y
t
xy x y
tt
= =
⋅≤ + = +
∑∑
и далее:
22
11
1
| | | | || || || || .
22
nn
ii i i
ii
t
xy x y x y
t
= =
≤ ⋅≤ +
∑∑
Полагая здесь
|| ||
|| ||
y
t
x
=
, получаем доказываемое соотношение.
Лемма доказана.
Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняков-
ского.
Перейдем теперь к доказательству свойства 3. Воспользуемся равен-
ством
2
22 2
1 111
() 2
n nnn
i i i ii i
i iii
x y x y x xy y
= = = =
+= + = + + =
∑ ∑∑∑
22
1
2.
n
ii
i
x xy y
=
=++
∑
Оценивая модуль среднего слагаемого в правой части с помощью неравен-
ства Коши-Буняковского, получаем:
22 2 2
|| || || || 2|| || || || || || (|| || || ||) ,xy x x y y x y+≤ + ⋅ + = +
откуда и следует доказываемое утверждение.
Свойство 3 называется неравенством треугольника для нормы.
Отметим также следующее важное соотношение: для любого векто-
ра
n
x∈
11
max | | | | max | |.
ii
in in
xx n x
≤≤ ≤≤
≤≤ ⋅
Действительно, пусть
1
max | |
i
in
cx
≤≤
=
. Возьмем значение
0
i
,
0
1 in≤≤
,
для которого
0
||
i
cx=
. Тогда для любого
i
,
1 in≤≤
выполняется неравенст-
во
||
i
xc≤
, и
Глава 1
5
Функции нескольких переменных
ç
è
Буняковский
Коши
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
