Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Справедливо следующее утверждение.
Т
ЕОРЕМА 16. Предположим, что функция
f
имеет производные всех
порядков на интервале
( ,)I aa= −
и существует такая константа
M
,
что выполняется оценка
()
| ( )|
n
f xM≤
для всех
xI∈
,
0n =
,
1
,
2
, …. Тогда
ряд Тейлора функции
f
сходится на этом промежутке и имеет место
равенство
()
0
(0)
() , .
!
n
n
n
f
fx x a x a
n
+∞
=
= −<<
∑
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разность между значениями
()fx
и частичной
суммой ее ряда Тейлора оценим как остаточный член в форме Лагранжа:
где
| || |xa
ξ
≤<
.
Остается заметить, что для любого значения
x
имеет место равенство
1
||
lim 0,
( 1)!
n
n
x
n
+
→+∞
=
+
и, следовательно, для любого
( ,)x aa∈−
()
0
(0)
lim ( ).
!
k
n
n
k
f
fx
k
→+∞
=
=
∑
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. В общем случае ряд Тейлора бесконечно дифференци-
руемой функции может не сходиться к этой функции. Рассмотрим напри-
мер функцию, задаваемую на всей вещественной оси условиями:
2
1
()
x
fx e
−
=
,
x∈
,
0x ≠
,
(0) 0f =
. Нетрудно показать, что эта функция
бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и имеет место ра-
венство
()
(0) 0
n
f =
,
0n =
, 1, 2, … . Отсюда следует, что ее ряд Тейлора яв-
ляется тождественно нулевым. Однако сама функция при любом ненуле-
вом значении аргумента принимает положительные значения, то есть от-
лична от суммы ряда Тейлора.
Приведем примеры разложения функций в ряд Тейлора.
1. Пусть
( ) cosfx x=
,
x∈
.
Имеет место равенство
()
( ) cos
2
n
n
fx x
π

= +


,
0n =
, 1, 2… ,
x∈
.
Отсюда получаем, что для любого вещественного
x
имеет место оценка
| ( ) | 1.
n
fx≤
В силу предыдущей теоремы, для любого вещественного
x
функция равна сумме своего ряда Тейлора, и получаем равенство
Глава 2
97
Функциональные ряды
ç
è

Страницы