ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Из соотношения
(0)
00
(0) (0) 0!
f faa
= = = ⋅
получаем, что для любого
0
k ≥
имеет место равенство
()
(0) !
k
k
f ka=
, то есть
()
(0)
!
k
k
f
a
k
=
.
Теорема доказана.
В силу теоремы 15, разложение функции
f
может быть переписано
следующим образом:
()
0
(0)
() , .
!
n
n
n
f
fx x R x R
n
+∞
=
= −<<
∑
6. Ряд Тейлора
В предыдущем разделе мы ввели функцию, являющуюся суммой
степенного ряда, и рассмотрели некоторые ее свойства. В этом разделе бу-
дем решать в некотором смысле обратную задачу: дана некоторая функция
и требуется указать условия, при которых она может быть представлена в
некотором промежутке в виде суммы степенного ряда. Напомним некото-
рые утверждения, доказанные нами в предыдущих разделах курса.
Предположим, что функция
f
определена в некоторой окрестности
точки
0x =
, имеет в этой окрестности все производные вплоть до поряд-
ка
1n −
включительно и производную порядка
n
в самой точке
0x =
. То-
гда функция
()fx
может быть представлена в этой окрестности в следую-
щем виде:
()
0
(0)
() (),
!
k
n
k
n
k
f
fx x rx
k
=
= +
∑
где
()
n
rx
называется остаточным членом формулы Тейлора.
При дополнительном предположении, что функция
f
имеет в рассматри-
ваемой окрестности все производные вплоть до порядка
1n +
включитель-
но, остаточный член
()
n
rx
может быть представлен в следующем виде:
( )
1
1
()
() ,
( 1)!
n
n
n
f
rx x
n
ξ
+
+
=
+
где
ξ
— точка. лежащая между точками
0
и
x
.
Указанное представление остаточного члена называется остаточным чле-
ном в форме Лагранжа.
Предположим, что функция
f
бесконечно дифференцируема в неко-
торой окрестности нуля. Степенной ряд
()
0
(0)
!
n
n
n
f
x
n
+∞
=
∑
называется рядом
Тейлора функции
f
в точке
0
.
Глава 2
96
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
