ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
равен
1
ρ
и, следовательно, совпадает с радиусом сходимости ряда
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
.
Лемма доказана.
Напомним теперь, что если степенной ряд
1
n
n
n
ax
+∞
=
∑
имеет радиус схо-
димости
0R >
, то для любого
r
, удовлетворяющего условию
0 rR<<
,
этот ряд сходится на отрезке
[ ,]rr−
равномерно.
Л
ЕММА 2. Предположим ,что степенной ряд
1
n
n
n
ax
+∞
=
∑
имеет ненуле-
вой радиус сходимости
R
. Тогда функция
1
()
n
n
n
f x ax
+∞
=
=
∑
,
( ,)x RR∈−
явля-
ется непрерывной.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное число
r
, удовлетворяющее
условию
0 rR<<
. Все функции
n
n
ax
непрерывны на отрезке
[ ,]rr−
, и рас-
сматриваемый ряд сходится на этом отрезке равномерно. Следовательно,
сумма этого ряда, то есть функция
f
, непрерывна на отрезке
[ ,]rr−
. В си-
лу произвольности
r
, функция
f
непрерывна на всем интервале
( ,)RR−
.
Лемма доказана.
Л
ЕММА 3. Предположим, что степенной ряд
1
n
n
n
ax
+∞
=
∑
имеет ненуле-
вой радиус сходимости
R
. Тогда функция
1
()
n
n
n
f x ax
+∞
=
=
∑
,
( ,)x RR∈−
явля-
ется непрерывно дифференцируемой на промежутке
( ,)RR−
и имеет ме-
сто равенство
1
1
( ) , ( , ).
n
n
n
f x na x x R R
+∞
−
=
′
= ∈−
∑
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем любое число
r
, удовлетворяющее усло-
вию
0 rR<<
. Функции
n
n
ax
,
0n =
, 1, … являются непрерывно дифферен-
цируемыми на отрезке
[ ,]rr−
, ряд
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится на этом отрезке. Ряд
1
1
n
n
n
na x
+∞
−
=
∑
, (∗)
составленный из производных членов предыдущего ряда, в силу леммы 1,
имеет радиус сходимости, равный
R
. Следовательно, ряд (∗) сходится на
Глава 2
94
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
