ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Предположим, что
0
ρ
< < +∞
. Покажем, что степенной ряд сходится
при любом значении
x
, удовлетворяющем условию
1
| x
ρ
<
. Действитель-
но, в этом случае
||
lim | | lim | | | | 1.
n
n
n
nn
nn
x
ax a x
ρ
→+∞ →+∞
= ⋅= <
В силу признака Коши, рассматриваемый числовой ряд является сходя-
щимся.
Аналогично доказывается, что при любом значении
x
, удовлетво-
ряющим условию
1
||x
ρ
>
, степенной ряд расходится, и анализируется слу-
чай
ρ
= +∞
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. Вводя естественные соглашения
1
0
= +∞
и
1
0=
+∞
, при-
веденные в теореме формулы для вычисления радиуса сходимости можно
объединить следующим образом:
1
lim | |
n
n
n
R
a
→+∞
=
в предположении, что существует конечный или бесконечный предел в
знаменателе.
Доказательство следующей теоремы, основанное на признаке
д’Aламбера в предельной форме, предоставляется читателю.
Т
ЕОРЕМА 14. Если для степенного ряда
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
существует конеч-
ный или бесконечный предел
1
lim
n
n
n
a
a
→+∞
+
, то радиус сходимости этого ряда
может быть найден по формуле
1
lim .
n
n
n
a
R
a
→+∞
+
=
З
АМЕЧАНИЕ. В общем случае радиус сходимости степенного ряда
может быть найден по следующей формуле
1
lim | |
n
n
n
R
a
→+∞
=
,
называемой формулой Коши-Адамара. Здесь
lim
n→+∞
означает верхний предел
последовательности, который для произвольной неотрицательной после-
Глава 2
92
Функциональные ряды
ç
è
Адамар
Д'Аламбер
Коши
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
