Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Предположим, что
0 R< < +∞
. Из определения числа
R
следует, что
степенной ряд расходится при любом значении
x
, удовлетворяющем усло-
вию
||xR>
. Выберем произвольное значение
0
x
удовлетворяющее усло-
вию
0
||xR<
. По определению точной верхней грани существует такой
элемент
1
xD∈
, что
10
| || |xx>
. Снова применяя теорему Абеля, из сходимо-
сти степенного ряда в точке
выводим его абсолютную сходимость в
точке
0
x
.
Предположим, что
R = +∞
. Покажем, что степенной ряд абсолютно
сходится при любом вещественном значении
x
. Действительно, выберем
произвольное
0
x ∈
. По определению точной верхней грани существует
такой элемент
1
xD∈
, что
10
| || |xx>
. Степенной ряд сходится в точке
1
.xx=
Из теоремы Абеля вытекает, что он абсолютно сходится в точке
0
x
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. Число
R
из формулировки теоремы определяется сте-
пенным рядом единственным образом. Это число называется радиусом
сходимости степенного ряда. Отметим, что в теореме ничего не говорится
о сходимости или расходимости степенного ряда при условии
||xR=
в
случае
0 R< < +∞
, то есть при
xR=
или
xR= −
. Ниже мы на конкретных
примерах убедимся, что степенной ряд в этих точках может как сходиться,
так и расходиться.
Приведем теперь теоремы о вычислении радиуса сходимости сте-
пенного ряда
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
.
Т
ЕОРЕМА 13. Предположим, что существует конечный или беско-
нечный предел
lim | |
n
n
n
a
ρ
→+∞
=
. Тогда
1.
R = +∞
, если
0
ρ
=
;
2.
1
R
ρ
=
, если
0
ρ
< < +∞
;
3.
0R =
, если
ρ
= +∞
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что
0
ρ
=
, и покажем, что степен-
ной ряд
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
абсолютно сходится при любом вещественном значении
x
.
Для этого воспользуемся признаком Коши сходимости числового ряда в
предельной форме:
lim | | lim | | | | 0.
n
n
n
nn
an an x
→+∞ →+∞
= ⋅=
В силу признака Коши, ряд абсолютно сходится.
Глава 2
91
Функциональные ряды
ç
è

Страницы