ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
() ()
nn
nn
ux ux
+∞ +∞
= =
′
′
=
∑∑
Последнее утверждение носит название теоремы о почленном диф-
ференцировании ряда.
5. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
, где
0
{}
nn
a
+∞
=
—числовая последовательность. Очевидно, что степенной ряд яв-
ляется сходящимся при
0x =
.
Справедливо следующее утверждение
Т
ЕОРЕМА 11 (ТЕОРЕМА АБЕЛЯ). Если степенной ряд
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится
при
0
0xx= ≠
, то он абсолютно сходится для всех значений
x
, удовлетво-
ряющих неравенству
0
| || |xx<
. Если данный ряд расходится при некотором
значении
1
xx=
, то он расходится при любом значении
x
, удовлетворяю-
щем неравенству
1
| || |xx>
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что рассматриваемый степенной
ряд сходится при некотором значении
0
0xx= ≠
. Из сходимости числового
ряда
0
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
следует, что выполняется равенство
0
lim 0
n
n
n
ax
→+∞
=
. Сходящая-
ся последовательность является ограниченной. Поэтому существует такое
число
M
, что выполняется оценка
0
||
n
n
ax M≤
для всех значений
m
. Выбе-
рем произвольное значение
1
x
, удовлетворяющее неравенству
10
| || |xx<
.
Для любого
0n =
, 1, 2… имеем :
11
10 0
0
0
||
|||| || ,
||
n
n
nn n n
nn n
n
xx
ax ax ax Mq
x
x
= ⋅= ⋅≤
где введено обозначение
1
0
x
q
x
=
.
Глава 2
89
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
