Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Применяя в левой части формулу Ньютона-Лейбница, отсюда находим,
что
() () () , [,]
x
nn
c
f x f c g t dt x a b−∈
∫
. (∗)
Рассматривая
()
n
fc
,
n∈
и
()fc
как значения постоянных функций на
отрезке
[,]ab
, получаем, что
() ()
n
f c fc
,
[,]x ab∈
. Складывая почленно
последнее соотношение и соотношение (∗), получаем, что
() () (), [,]
x
n
c
f x g t dt f c x a b+∈
∫
,
последовательность
1
{}
nn
f
+∞
=
равномерно сходится на отрезке
. Обо-
значим:
() lim ()
n
n
fx f x
→+∞
=
,
[,]x ab∈
. Тогда
( ) ( ) ( ), [ , ].
x
c
f x g t dt f c x a b=+∈
∫
Интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции явля-
ется функцией непрерывно дифференцируемой. Из последнего соотноше-
ния получаем, что функция
f
непрерывно дифференцируема на отрезке
[,]ab
и имеет место равенство
() ()f x gx
′
=
,
[,]x ab∈
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. При выполнении условий теоремы имеет место равенст-
во
(lim ()) lim (), [,]
nn
nn
fx fx x ab
→+∞ →+∞
′′
= ∈
,
говорящее о возможности почленного дифференцирования функциональ-
ной последовательности.
С
ЛЕДСТВИЕ. Предположим, что члены функционального ряда
1
()
n
n
ux
+∞
=
∑
непрерывно дифференцируемы на отрезке
, ряд сходится в некото-
рой точке
[,]c ab∈
, а ряд
1
()
n
n
ux
+∞
=
′
∑
сходится на отрезке
[,]ab
равномерно.
Тогда исходный ряд
1
()
n
n
ux
+∞
=
∑
сходится на отрезке
[,]ab
равномерно, его
сумма непрерывно дифференцируема на этом отрезке и имеет место ра-
венство
Глава 2
88
Функциональные ряды
ç
è
Ньютон

Страницы