Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

является сходящимся. Следовательно, функциональный ряд, составленный
из соответствующих постоянных функций, равномерно сходится на про-
межутке
[0,1]
. Функции
n
x
,
0n =
, 1, …, удовлетворяют условиям
| |1
n
x ≤
,
01x≤≤
и при любом фиксированном
[0,1]x∈
числовая последователь-
ность
1
{}
n
n
x
+∞
=
является монотонной. По признаку Абеля ряд
23
23
xx
x −+−
равномерно сходится на промежутке
[0,1]
. Каждый из членов последнего
ряда является функцией, непрерывной на отрезке
[0,1]
. Мы находимся в
условиях теоремы о непрерывности суммы ряда. Из нее следует, что
Переходя к пределу при
10x →−
в равенстве
1
1
( 1)
ln(1 )
nn
n
x
x
n
−
+∞
=
−
+=
∑
и
учитывая, что
10
lim ln(1 ) ln 2
x
x
→−
+=
, в силу непрерывности логарифмической
функции, находим, что доказываемое соотношение остается верным и при
1x =
.
Перейдем теперь к вопросу о дифференцируемости функциональной
последовательности.
Т
ЕОРЕМА 10. Предположим, что
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность
функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке
[,]ab
, удовлетво-
ряющая следующим условиям:
1) последовательность
1
{}
nn
f
+∞
=
сходится в некоторой точке
c
ука-
занного отрезка;
2) последовательность производных
1
{}
nn
f
+∞
=
′
равномерно сходится на
отрезке
[,]ab
к функции
g
.
Тогда последовательность
1
{}
nn
f
+∞
=
равномерно сходится на отрезке
[,]ab
к непрерывно дифференцируемой функции
f
и выполняется равен-
ство
fg
′
=
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. По теореме 1 функция
g
непрерывна на
отрезке
[,]ab
. В силу теоремы 2, имеет место равномерная сходимость
() () , [ , ]
xx
n
cc
f t dt g t dt x a b
′
∈
∫∫
.
Глава 2
87
Функциональные ряды
ç
è

Страницы