ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что все члены функционального ряда
1
()
n
k
ux
+∞
=
∑
определены и интегрируемы на отрезке
[,]ab
и ряд равномерно
сходится на этом отрезке. Тогда для любой точки
[,]c ab∈
и имеет место
равенство
11
() ()
xx
nn
nn
cc
u t dt u t dt
+∞ +∞
= =
=
∑∑
∫∫
,
причем ряд в правой части равномерно сходится на отрезке
[ , ].ab
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно положить
1
() (), [,], 1,2,
n
nk
k
f x u x x ab n
=
= ∈=
∑
и воспользоваться утверждением теоремы.
С
ЛЕДСТВИЕ 3. Предположим, что все члены функционального ряда
1
()
n
k
ux
+∞
=
∑
определены и интегрируемы на отрезке
[,]ab
и ряд равномерно
сходится на этом отрезке. Тогда имеет место равенство
11
() ()
bb
nn
nn
aa
u x dx u x dx
+∞ +∞
= =
=
∑∑
∫∫
.
З
АМЕЧАНИЕ 1. Следствия 2 и 3 носят название теоремы о почленном
интегрировании функционального ряда.
З
АМЕЧАНИЕ 2. Следствия 1 и 3 остаются в силе и без предположения,
что
ab<
. Например, справедливо такое утверждение.
Предположим, что все члены функционального ряда
1
()
n
k
ux
+∞
=
∑
опре-
делены и интегрируемы на отрезке
[,]AB
и ряд равномерно сходится на
этом отрезке. Тогда сумма этого ряда интегрируема на отрезке
[,]AB
и
для любых
a
,
[,]b AB∈
имеет место равенство
11
() ()
bb
nn
nn
aa
u x dx u x dx
+∞ +∞
= =
=
∑∑
∫∫
.
Действительно, если
ab<
, то это утверждает следствие 3, если
,ab=
то все интегралы равны нулю, и равенство имеет место. В случае
ab>
воспользуемся равенством
11
() ()
aa
nn
nn
bb
u x dx u x dx
+∞ +∞
= =
=
∑∑
∫∫
Глава 2
85
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
