Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

ТЕОРЕМА 9. Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность функций, опреде-
ленных и интегрируемых на отрезке
[,]ab
. Если эта последовательность
равномерно сходится на отрезке
[,]ab
к функции
f
, то эта функция
также интегрируема на этом отрезке и для любой точки
[,]c ab∈
имеет
место равномерная сходимость
() () , [ , ]
xx
n
cc
f t dt f t dt x a b∈
∫∫
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением частного случая. Бу-
дем предполагать, что все функции
n
f
непрерывны на отрезке
[,]ab
. То-
гда, в силу следствия предыдущей теоремы, предельная функция
f
непре-
рывна на отрезке
[,]ab
и, следовательно интегрируема на этом отрезке.
Докажем сходимость интегралов от рассматриваемых функций. Вы-
берем произвольное
0
ε
>
и найдем такое
N
, чтобы для всех
и всех
[,]x ab∈
выполнялось неравенство
| () ()|
n
f x fx
ε
−<
. Тогда для всех
и
[,]x ab∈
получаем:
() () ( () ())
xxx
nn
ccc
f t dt f t dt f t f t dt− =−≤
∫∫∫
| () ()| | | ( ).
x
n
c
f x f x dx x c b a
εε
≤ − ≤⋅ − ≤ ⋅ −
∫
В силу произвольности
ε
и
x
, полученная оценка означает наличие иско-
мого соотношения для интегралов.
Теорема доказана.
С
ЛЕДСТВИЕ 1. Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность функций, опре-
деленных и интегрируемых на отрезке
[,]ab
. Если эта последователь-
ность равномерно сходится на отрезке
[,]ab
к функции
f
, то функция
f
также интегрируема на этом отрезке и
lim () () .
bb
n
n
aa
f x dx f x dx
→+∞
=
∫∫
З
АМЕЧАНИЕ 1. Приведенное в следствии 1 соотношение может быть
переписано следующим образом:
lim ( ) ( lim ( )) ,
bb
nn
nn
aa
f x dx f x dx
→+∞ →+∞
=
∫∫
то есть утверждается, что модно поменять порядок следования операций
интегрирования и предельного перехода.
З
АМЕЧАНИЕ 2. Доказанная теорема и следствие 1 носят название тео-
ремы о предельном переходе под знаком интеграла.
Глава 2
83
Функциональные ряды
ç
è

Страницы