ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Мы доказали, что
0
| ( ) ( )|fx fx
ε
−<
для всех
xI∈
, удовлетворяющих не-
равенству
0
||xx
δ
−<
. В силу произвольности
ε
, это означает, что функ-
ция
f
непрерывна в точке
0
x
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. При выполнении условий теоремы из ее утверждения
вытекает следующее равенство:
00
lim ( lim ( )) lim ( lim ( )).
nn
xxn n xx
fx fx
→ →+∞ →+∞ →
=
С
ЛЕДСТВИЕ 1. Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность функций непре-
рывных на промежутке
I
. Если эта последовательность сходится на
промежутке
I
равномерно к функции
f
, то функция
f
также непрерыв-
на на этом промежутке.
С
ЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что все члены функционального ряда
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
определены и непрерывны на промежутке
I
. Если ряд сходится
на промежутке
I
равномерно, то его сумма
1
() ()
n
n
Sx a x
+∞
=
=
∑
непрерывна
на отрезке
[,]ab
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим
1
() ()
n
nk
k
Sx ax
=
=
∑
,
[,]x ab∈
. Тогда
() (), [,]
n
S x S x x ab∈
.
Каждая из функций
n
S
непрерывна на отрезке
[,]ab
. Применяя следст-
вие 1, получаем требуемый результат.
З
АМЕЧАНИЕ. Допустим, что последовательность функций
1
{}
nn
f
+∞
=
, оп-
ределенных на промежутке
I
поточечно сходится на этом промежутке к
функции
f
. Если при этом равномерная сходимость не имеет места, то
предельная функция может оказаться разрывной. Например, рассмотрим
последовательность функций
()
n
n
fx x=
,
[0,1]x∈
,
1n =
, 2, … . Для каждого
[0,1]x∈
существует предел
() lim ()
n
n
fx f x
→+∞
=
. Каждая из функций
n
f
не-
прерывна на отрезке
[0,1]
. Предельная функция
f
удовлетворяет услови-
ям:
() 0fx=
, если
01x≤<
,
(1) 1f =
.Таким образом функция
f
не являет-
ся непрерывной на отрезке
[0,1]
. Подчеркнем, что рассматриваемая функ-
циональная последовательность сходится на отрезке
[0,1]
к предельной
функции
f
поточечно, но неравномерно.
Перейдем теперь к вопросу об интегрировании членов функциональ-
ной последовательности.
Глава 2
82
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- …
- следующая ›
- последняя »
