ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Отметим, что требование равномерной сходимости ут-
верждение теоремы может оказаться неверным. Рассмотрим, например,
последовательность функций
2
( 1)(2 1)
( ) ( ), 1, 2, , 0 1.
nn
n
nn
fx x x n x
n
++
= − = ≤≤
Эти функции непрерывны на отрезке
[0,1]
.Читателю предлагается
убедиться в справедливости следующих утверждений.
1) Для любого значения
1n =
, 2, …
1
0
( ) 1.
n
f x dx =
∫
2) Для любого
[0,1]x∈
имеет место равенство
lim ( ) 0
n
n
fx
→+∞
=
, то есть
рассматриваемая последовательность поточечно сходится к нулевой функ-
ции. Поэтому соотношение
lim ( ) ( lim ( )) ,
bb
nn
nn
aa
f x dx f x dx
→+∞ →+∞
=
∫∫
места не имеет.
3) Имеет место равенство
2
01
( 1)(2 1)
max ( )
11
nn
n
x
nn n n
fx
nnn
≤≤
++
= − → +∞
++
и, следовательно,
01
max ( )
n
x
fx
≤≤
→ +∞
при
n → +∞
.
Графики рассматриваемых функций при
1n =
,
2
,
3
,
4
и
5
приведены на
следующем рисунке. Отметим, что по осям выбраны разные масштабы.
Глава 2
84
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
