ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
и поменяем местами пределы интегрирования в каждом из интегралов. То-
гда все интегралы поменяют знак, и равенство сохранится.
П
РИМЕР. Доказать, что имеет место равенство
23
ln(1 ) , 1 1.
23
xx
xx x+ = − + − −< ≤
Р
ЕШЕНИЕ. Для всех
( 1,1)t ∈−
имеет место равенство
23
0
1
1 ( 1) .
1
nn
n
tt t t
t
+∞
=
=−+ − + = −
+
∑
(∗)
Выберем произвольное
( 1,1)x∈−
. Возьмем такое число
r
, для которого
|| 1xr<<
. Ряд
0
( 1)
nn
n
t
+∞
=
−
∑
равномерно сходится на промежутке
[ ,]rr−
по
признаку Вейерштрасса. Действительно, для любого
[ ,]t rr∈−
имеет место
оценка
||
nn
tr≤
,
0n =
,
1
, …, и данный функциональный ряд мажорируется
на отрезке
[ ,]rr−
сходящимся числовым рядом
0
n
n
r
+∞
=
∑
. Интегрируя обе час-
ти соотношения (∗) по
t
от 0 до
x
(вне зависимости от знака
x
) и приме-
няя теорему о почленном интегрировании ряда, получаем:
00
00 0
( 1) ( 1)
1
xx x
nn n n
nn
dt
dt t dt t dt
t
+∞ +∞
= =
=−=− =
+
∑∑
∫∫ ∫
1 23
0
( 1) .
1 23
n
n
n
x xx
x
n
+
+∞
=
= − =−+−
+
∑
Остается заметить, что
0
ln(1 )
1
x
dt
x
t
= +
+
∫
. Мы доказали, что имеет место ра-
венство
23 1
1
( 1)
ln(1 ) , 1 1.
23
nn
n
xx x
xx x
n
−
+∞
=
−
+ = − + − = −< <
∑
Остается доказать, что это соотношение остается верным и при
1x =
. Для
этого заметим, что функциональный ряд
23
23
xx
x −+−
сходится на промежутке
[0,1]
равномерно. Действительно, числовой ряд
11
1
23
−+−
Глава 2
86
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
