ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
следует, что
1
0
()nx
α
+
на промежутке
[0, )+∞
.
Для любого
[0, )x∈ +∞
последовательность является монотонной. Кроме
того, для любых
[0, )x∈ +∞
и
n∈
имеет место оценка
0 arctg
2
nx
π
≤<
. Из
признака Абеля выводим, что функциональный ряд
1
1
( 1) arctg
,0
()
n
n
nx
x
nx
α
−
+∞
=
−
≤ < +∞
+
∑
равномерно сходится на промежутке
[0, )+∞
.
4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и
рядов.
В этом разделе рассматриваются следующие вопросы: предположим,
что все элементы функциональной последовательности обладают некото-
рым свойством (например, непрерывны на некотором промежутке). Будут
указаны достаточные условия, при выполнении которых это свойство со-
храняется и для предельной функции. Все доказываемые утверждения име-
ют точные аналоги в случае рядов. Эти утверждения будут только сформу-
лированы, поскольку они являются непосредственными следствиями соот-
ветствующего факта для функциональной последовательности.
Т
ЕОРЕМА 8. Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность функций, опреде-
ленных на промежутке
I
. Предположим что эта последовательность
сходится на промежутке
I
равномерно к функции
f
. Если все функции
n
f
непрерывны в некоторой точке
0
x
I∈
, то предельная функция
f
также
непрерывна в этой точке.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное
0
ε
>
и найдем такое
n
,
чтобы для всех
xI∈
выполнялось неравенство
| () ()|
3
n
f x fx
ε
−<
. В силу
непрерывности функции
()
n
fx
в точке
0
x
, найдется такое
0
δ
>
, что для
всех
xI∈
, удовлетворяющих условию
0
||xx
δ
−<
, имеет место оценка
0
| ( ) ( )| .
3
nn
fx fx
ε
−<
Тогда для тех же значений
x
получаем
0 0 00
| () ( )||( () ()) ( () ( )) ( ( ) ( ))|
n nn n
fx fx fx f x f x f x f x fx−=−+− + − ≤
0 00
| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| .
333
n nn n
fx fx fx fx fx fx
εεε
ε
≤ − + − + − <++=
Глава 2
81
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
