ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Заметим теперь, что для всех значений
1kn= +
,
2n +
, …,
2n
выполняется
неравенство
2kkn
α
≤≤
(здесь учтено, что
01
α
<≤
) и, следовательно,
11
2n
k
α
≥
, и тогда
2
1
11
sin sin sin .
4 422 4
n
kn
n
n
ππ π
= +
⋅ ≥ ⋅⋅ = ⋅
∑
(∗)
Для любого
0
δ
>
при всех достаточно больших значениях
n
величина
1
2
x
n
=
попадает в промежуток
[0, ]
δ
. Из соотношения (∗) выводим, что для
рассматриваемого ряда не выполняется условие критерия Коши, и он не
сходится равномерно.
З
АМЕЧАНИЕ. Найденную выше сумму
1
sin
n
k
kx
=
∑
можно было бы найти
по следующей схеме, использующей комплексные числа и формулу Эйле-
ра:
cos sin .,
ix
e xi x x= ∈+
Это означает, что
cos Re( )
ix
xe=
,
sin Im( )
ix
xe=
, где, как обычно,
Re z
и
Im z
означают соответственно вещественную и мнимую части комплекс-
ного числа
z
. Тогда имеем:
( 1)
10 0
1
sin sin Im Im .
1
in x
nn n
ikx
ix
kk k
e
kx kx e
e
+
= = =
−
= = =
−
∑∑ ∑
Упрощая последнее выражение
( 1)
1
1
in x
ix
e
e
+
−
−
, находим искомую сумму. От-
сюда можно также найти значение суммы
0
cos
n
k
kx
=
∑
. Детали вычислений
предоставляются читателю.
Т
ЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что для функционально-
го ряда
1
() ()
nn
n
a xb x
+∞
=
∑
,
xI∈
выполняются следующие условия:
1) для каждого
xI∈
числовая последовательность
1
{ ( )}
nn
ax
+∞
=
явля-
ется монотонной;
2) существует такая константа
M
, что для всех
n∈
,
xI∈
име-
ет место оценка
| ( )|
n
ax M≤
;
Глава 2
79
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
