ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Для дальнейшего анализа найдем сумму
1
sin
n
k
S kx
=
=
∑
. Умножая обе
части последнего соотношения на
sin
2
x
, в предположении, что эта величи-
на отлична от нуля, и учитывая тождества
1
sin sin (cos( ) cos( ))
2
α β αβ αβ
⋅ = −− +
,
cos cos 2cos cos
22
βα βα
αβ
−+
−= ⋅
,
получаем:
11
11 1
sin sin sin cos cos
2 22 2 2
nn
kk
xx
S kx k x k x
= =
⋅= ⋅ = − − + =
∑∑
1 3 35 1 1
cos cos cos cos cos cos
222 2 2 2 2
xx xx
nn
= −+−++−−+=
1 1 ( 1)
cos cos sin sin .
22 2 2 2
x nx n x
nx
+
= −+=⋅
Отсюда получаем, что
( 1)
sin sin
22
.
sin
2
nx n x
S
x
+
⋅
=
Вернемся теперь к анализу функционального ряда. В дальнейшем
всюду предполагаем, что
01
α
<≤
2) Покажем, что рассматриваемый ряд поточечно сходится на про-
межутке
[0,2 ]
π
.
Если
0x =
или
2x
π
=
, то все члены ряда
1
sin
n
nx
n
α
+∞
=
∑
обращаются в
ноль, и ряд сходится.
Допустим, что
02x
π
<<
. Тогда
0
2
x
π
<<
,
sin 0
2
x
≠
. Оцениваем час-
тичные суммы ряда
1
sin
n
nx
+∞
=
∑
по найденной выше формуле:
1
( 1)
sin sin
1
22
sin .
sin sin
22
n
k
nx n x
kx
xx
=
+
⋅
= ≤
∑
Глава 2
77
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
