ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
При фиксированном
x
из указанного диапазона частичные суммы ряда ог-
раничены. Подчеркнем, что в приведенной оценке слева находится произ-
вольная частичная сумма ряда, поскольку
n
любое. В правой части нахо-
дится величина, не зависящая от
n
. Далее, учитываем, что последователь-
ность
1
{1 }
n
n
α
+∞
=
монотонно сходится к нулю. По признаку Дирихле для чи-
словых рядов ряд
1
sin
n
nx
n
α
+∞
=
∑
сходится в точке
x
.
3) Выберем произвольное
δ
,
0
δπ
<<
и покажем, что ряд равномер-
но сходится на отрезке
[ ,2 ]
δπδ
−
. В этом случае применяем признак Ди-
рихле равномерной сходимости функциональных рядов. Частичные суммы
ряда
1
sin
n
nx
+∞
=
∑
оцениваем так:
1
11
sin ,
sin sin
22
n
k
kx
x
δ
=
≤≤
∑
поскольку для
[ ,2 ]x
δπδ
∈−
выполняется оценка
22 2
x
δδ
π
≤≤−
и, сле-
довательно,
sin sin
22
x
δ
≥
. Чтобы применить признак Дирихле, снова учи-
тываем, что числовая последовательность
1
{1 }
n
n
α
+∞
=
монотонно сходится к
нулю.
4) Докажем теперь, что функциональный ряд
1
sin
n
nx
n
α
+∞
=
∑
не сходится
равномерно на отрезке
[0, ]
δ
при любом
0
δ
>
. Для этого покажем, что он
не удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Для произ-
вольного
1n ≥
рассмотрим сумму
2
1
sin
n
kn
kx
k
α
= +
∑
и положим в ней
4
x
n
π
=
. Ве-
личина
kx
при изменении
k
от
1n +
до
2n
возрастает и принимает значе-
ния от
1
44
n
n
ππ
+
⋅>
до
2
42
n
n
ππ
⋅=
, то есть удовлетворяет условию
42
kx
ππ
<≤
. Следовательно, для указанных значений
x
и
k
выполняется
неравенство
sin sin
4
kx
π
>
, и тогда
22
11
sin 1
sin .
4
nn
kn kn
kx
kk
αα
π
=+=+
>⋅
∑∑
Глава 2
78
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
