Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Частичные суммы ряда
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
имеют вид
1
11
( 1)
() () (1)
1
n
nn
kk
nk
kk
xx
Sx bx x
x
−
= =
−−
= =−=
+
∑∑
.
Оценивая модуль числителя последней дроби сверху, а знаменатель снизу,
получаем:
| ( 1) | | | | ( 1) | 2, 1 1
nn
x xx x x−−≤+−≤ +≥
.
Отсюда следует, что для любого
[0,1]x∈
имеет место неравенство
| ( )| 2
n
Sx≤
. Все условия признака Дирихле выполнены, следовательно, рас-
сматриваемый ряд сходится на промежутке
[0,1]
равномерно.
Отметим в заключение, что при
1
α
>
равномерная сходимость рас-
сматриваемого ряда может быть выведена из признака Вейерштрасса. Дей-
ствительно, для любого
[0,1]x∈
выполняется оценка
1
( 1) 1
, 1, 2,
()()
nn n
xx
n
nx nx n
α αα
−
−
≤ ≤=
++
,
поскольку для любого
имеют место неравенство
1
n
x ≤
,
()nx n
αα
+≤
.
П
РИМЕР. Рассмотрим функциональный ряд
1
sin
n
nx
n
α
+∞
=
∑
,
[0,2 ]x
π
∈
и по-
кажем, что
1) при
1
α
>
этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке
[0,2 ]
π
;
2) при
01
α
<≤
ряд сходится поточечно на отрезке
[0,2 ]
π
;
3) при
01
α
<≤
ряд сходится равномерно на отрезке вида
[ ,2 ]
δπδ
−
при любом
δ
,
0
δπ
<<
;
4) при
01
α
<≤
ряд не сходится равномерно на любом отрезке вида
[0, ]
δ
,
0
δ
>
.
Р
ЕШЕНИЕ. 1) При
1
α
>
члены рассматриваемого ряда мажорируются
членами сходящегося числового ряда:
sin 1
, 0 2,
nx
x
nn
αα
π
≤ ≤≤
и по теореме Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд схо-
дится на промежутке
[0,2 ]
π
абсолютно и равномерно.
Глава 2
76
Функциональные ряды
ç
è

Страницы